高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时学案

1.1集合的概念与表示

第2课时　集合的表示

语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……

[问题]　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？

知识点一　列举法

把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．

用列举法表示集合时的注意点

(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；

(2)集合中的元素必须是明确的；

(3)集合中的元素不能重复；

(4)集合中的元素可以是任何事物．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　)

(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列举法可表示为____________．

答案：{1，2，3，4}

知识点二　描述法

通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．

用描述法表示集合的注意点

(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；

(3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；

(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．　　　　

1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1}　　　 B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1}  D．{y＝3x＋1}

解析：选C　该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选C.

2．用描述法表示不等式4x－5＜7的解集为________．

解析：用描述法可表示为{x|x＜3}．

答案：{x|x＜3}

知识点三　集合的分类

1．有限集：含有有限个元素的集合．

2．无限集：含有无限个元素的集合．

3．空集：不含任何元素的集合，记作．

{0}与∅相同吗？

提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．

1．下列集合中，是空集的为________．(填序号)

①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；

④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．

答案：②③

2．下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号)

①由小于8的正奇数组成的集合；

②由大于5且小于20的实数组成的集合；

③由小于1的自然数组成的集合．

解析：①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．

②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．

③因为小于1的自然数为0，所以其组成的集合是有限集．

答案：①③　②

知识点四　区间及相关概念

1．区间的概念及记法

设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：

2．无穷大

实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

3．特殊区间的表示

理解区间概念时的注意点

(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；

(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；

(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．　　　　

用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2＜x≤3}＝________；

(3){x|－1<x<2}＝________．

答案：(1)[1，＋∞)　(2)(2，3]　(3)(－1，2)

[例1]　(链接教科书第3页例1)用列举法表示下列集合：

(1)方程x2－1＝0的解组成的集合；

(2)单词“see”中的字母组成的集合；

(3)所有正整数组成的集合；

(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．

[解]　(1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．

(2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}．

(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}．

(4)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1，1)}．

列举法表示集合的步骤及注意点

[提醒]　二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．　　　　

[跟踪训练]

把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为(　　)

A．{1，3}　　　　　　　 B．{(1，3)}

C．{x2－4x＋3＝0}  D．{x＝1，x＝3}

解析：选A　解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集为{1，3}．

[例2]　(链接教科书第3页例2)用描述法表示下列集合：

(1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合；

(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；

(3)不等式x－2＜3的解组成的集合．

[解]　(1){(x，y)|y＝－x}．

(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|＞3}．

(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．

描述法表示集合的2个步骤

[跟踪训练]

方程组的解集不能表示为(　　)

A.

B.

C．{1，2}

D．{(x，y)|x＝1，y＝2}

解析：选C　二元一次方程组的解是一个有序实数对，故C错．

[例3]　(链接教科书第5页练习4题)用区间表示下列集合：

(1){x|x＞－1}＝________；

(2){x|2＜x≤5}＝________；

(3){x|x≤－3}＝________；

(4){x|2≤x≤4}＝________．

[解析]　(1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．

[答案]　(1)(－1，＋∞)　(2)(2，5]　(3)(－∞，－3]　(4)[2，4]

用区间表示数集的方法

(1)区间左端点值小于右端点值；

(2)区间两端点之间用“，”隔开；

(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；

(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　　　　

[跟踪训练]

1．区间(－3，2]用集合可表示为(　　)

A．{－2，－1，0，1，2}  B．{x|－3＜x＜2}

C．{x|－3＜x≤2}  D．{x|－3≤x≤2}

解析：选C　由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C.

2．已知区间(4p－1，2p＋1)为一确定区间，则p的取值范围为________．

解析：由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.

答案：(－∞，1)

[例4]　若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

[解]　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.

此时集合A＝{2}．

当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，实数k的值为0或1.

当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．

[母题探究]

1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值集合．

解：由题意得

解得k<1，且k≠0.故实数k的取值集合为{k|k<1，且k≠0}．

2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合．

解：①当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1；

②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，

即解得k>1.

综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．

集合与方程的综合问题的解题策略

(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；

(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；

(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．　　　　

[跟踪训练]

已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．

解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.

1．(2021·北京育才学校月考)集合{x∈N＋|x＜6}的另一种表示方法是(　　)

A．{0，1，2，3，4}　　　　　 B．{1，2，3，4}

C．{0，1，2，3，4，5}  D．{1，2，3，4，5}

解析：选D　易知集合化简为{1，2，3，4，5}．故选D.

2．集合用描述法可表示为(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：选D　由3，，，，即，，，，

从中发现规律，x＝，n∈N＋，

故可用描述法表示为.

3．(多选)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有(　　)

A．(0，0)  B．(0，1)

C．(1，0)  D．(2，－1)

解析：选ABC　∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，

∴或或

∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．

4．若(a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是________．

解析：∵(a，3a－1]为一确定区间，∴a＜3a－1.解得a＞，∴实数a的取值范围是.

答案：

5．用适当的方法表示下列集合：

(1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解集；

(2)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合．

解：(1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0，得x＝－1或x＝±，故其解集用集合表示为{－1，－，}．

(2)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示集合为{(x，y)|x＜0，且y＞0}．