3.2.3 函数周期性与对称性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数周期性与对称性

考点一：函数的周期性

1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，

都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

f(x)的最小正周期.

3.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

(4).若，则T＝4a(a>0).

      证明： ，

           ∴.

考点二：函数的对称性

（1）若，则关于对称

（2）若，则关于对称

（3）若，则关于对称

（4）.函数的图像和函数的图像关于（y轴）对称.

（5）.函数的图像和函数的图像关于对称.

（6）.函数的图像和函数的图像关于对称.

4. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。

证明：。

5. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点对称，则的周期为。

证明：，

所以

6. 两点对称型： 函数关于点、对称，则的周期为。

证明：。

注意：设，任意都有，且有个实根，

则所有实根之和为.

1.若函数是定义在上周期为的奇函数，则.

证明： 由函数的周期为可得：，

因为函数为奇函数，

   ，，

2.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则          .

3.设函数在定义域上总有，且当时，.

则当时，求函数的解析式；

4.设函数是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，

当 时，.
（1）.求证：函数恒有成立；
（2）.当时，求的解析式
（3）.计算 .

5. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，             .

6.在上定义的函数是偶函数，且，

若在区间上是减函数，则（    ）

   A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数

   B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数

   C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数

   D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数

7. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（     ）

   A.         B.         C.         D.

8. 已知偶函数满足，且当时，，

则的值等于（     ）

   A.         B.         C.         D.

9. 设为上的奇函数，且，若，

   ，则的取值范围是           .

10. 函数对于任意实数满足条件，若，则等于（    ）

   A.         B.         C.         D.

11． 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则          .

12．已知定义在R上的奇函数满足，

当时，，则=_____.

13. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：

   ① 对于任意的，都有；

   ② 对于任意的，都有；

   ③ 函数的图象关于轴对称。

   则下列结论正确的是（     ）

   A.         B.

   C.         D.

14．定义在上的偶函数满足，且在

   上是增函数，下面是关于的判断：

   ①是周期函数；

   ②的图象关于直线对称；

   ③在上是增函数；

   ④

   其中正确的判断是             （把你认为正确的判断都填上）。

15．定义在上的函数，对任意都有，当 时，，则________.

16．已知是以2为周期的函数，且当时，，则     .

17．定义在上的函数满足，

且当时，，则______.

18．设函数是周期为5的奇函数，当时，，则=     .

19．已知是定义在上的奇函数，且，

当时，，则      .

20．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图像关于直线x＝2对称，则a的值为       .