2021学年第二章 数列2.4 等比数列学案设计

第10课时等比数列的概念和通项公式

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学习要求

1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，

2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.

【自学评价】

1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列.

2．等比数列的递增和递减性.

在等比数列{an}中

(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，

(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1 ,则数列递减；

(3)若q=1，则数列为常数列；

(4)若q＜0，则数列为摆动数列.

3．对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；

【选修延伸】

【例1】　（１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1 an+1（ｎ≥２）？

（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1 an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？

【解】（１）因为{an}是等比数列，所以

∴成立．

（2）不一定．例如对于数列

０，０，０，…，

总有a2n＝an-1 an+1，

但这个数列不是等比数列．

【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．

【解】

这序列图形的边数构成的数列为：

它们的边长构成的数列为：

.

∴第个图形的周长为

追踪训练一

１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．

【答案】这三个数为1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，-1

２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，

Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．

【答案】 以为首项，为公比的等比数列

3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( A  )

A.4   B.   C.   D.2

4.等比数列{an}的公比为2，则的值为( A  )

A.      B.     C.      D.1

【选修延伸】

【例3】数列满足，

①       求证是等比数列；

②       求数列的通项公式。

【解】

①证明：  

又

   故  

 是等比数列

②解：是等比数列，且

故

【例4】在等比数列｛an｝中，

已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，

且公比为整数，求a10.

【解】 由a4a7＝－512知，a3a8＝－512

解方程组且q为整数得 (舍去)q＝

∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.

【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.

追踪训练二

1．已知等比数列中a3=－4,a6=54,

则a9=－729.

2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是

3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=__7____.

4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.

【解】 设等比数列｛an｝的公比为q，∵a1=,an+2=n+1,∴ =n+1,qn+1=n(n+1),

∵a2·a3·…·an＋1＝a1nq1＋2＋3＋…＋n＝a1n=( =，即插入的n个数之积为.

5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.

【解】 由已知条件a1a5－2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100

知∴即①

或 ②

解①得a3=8,a5=2∴q==,

an=a3()n－3=()n－6

解②得:a3=2,a5=8  q==2,

an=a3(2)n－3=2n－2