人教版新课标A必修5第二章 数列2.4 等比数列第1课时课时作业

这是一份人教版新课标A必修5第二章 数列2.4 等比数列第1课时课时作业，共7页。

课时过关·能力提升
基础巩固
1若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( ).
A.4B.8C.6D.32
解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.
答案:C
2已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 ( ).
A.64B.81C.128D.243
解析:∵数列{an}为等比数列,设其公比为q,
∴a2+a3a1+a2=q=2.
又a1+a2=3,∴a1=1.
故a7=a1q6=1×26=64.
答案:A
3设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于( ).
A.31.5B.160C.79.5D.159.5
解析:∵1+2an=(1+2a1)·2n-1=5·2n-1,
∴1+2a6=5×25,
∴a6=5×32-12=79.5.
答案:C
4在等比数列{an}中,已知a1a2a12=64,则a4a6的值为 ( ).
A.16B.24C.48D.128
解析:设公比为q,则a1a2a12=a13q12=64,
所以a1q4=4.所以a4a6=(a1q4)2=16.
答案:A
5若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+26,c=5-26,则b=________________.
解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,
即b2=(5+26)(5-26)=1.
又b是正数,所以b=1.
答案:1
6在等比数列{an}中,a1=98,an=13,公比q=23,则n=________________.
解析:an=98×23n-1.
由an=13,得98×23n-1=13,
故23n-1=233,n=4.
答案:4
7在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .
答案:4
8一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,则开机后 分钟,该病毒占据内存64 MB.(1 MB=210 KB)
解析:经过一次复制占内存22 KB,经过两次复制占内存23 KB,……经过n次复制占内存2n+1 KB.
由2n+1 KB=64 M=64×210=216 KB,
得n=15,即复制15次后占内存64 MB.
又每3分钟复制一次,所以需经过45分钟.
答案:45
9已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解(1)由题意得a2=12,a3=14.
(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0,
得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.
故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,
因此an=12n-1.
10在等比数列{an}中,a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)设等比数列{an}的公比为q,
则a4=a1q3=2q3=16,解得q=2.
所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32.
设等差数列{bn}的公差为d,
则有b1+3d=8,b1+15d=32,解得b1=2,d=2.
故数列{bn}的前n项和Sn=nb1+n(n-1)2d
=2n+n(n-1)2×2=n2+n.
能力提升
1已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( ).
A.9B.3C.-3D.-9
解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6.
由于a1,a3,a4成等比数列,则a32=a1a4,
所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.
答案:D
2若实数a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是( ).
A.0B.1C.2D.不能确定
解析:∵b2=ac,且a,b,c均不为零,
∴b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
∴函数f(x)的图象与x轴无交点.
答案:A
3已知在等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a6+a7a8+a9等于( ).
A.1+2B.1-2C.3+22D.3-22
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由于a1,12a3,2a2成等差数列,
则212a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,
所以a1q2=a1+2a1q.
由于a1≠0,所以q2=1+2q,解得q=1±2.
又等比数列{an}中各项都是正数,
所以q>0.所以q=1+2.
所以a6+a7a8+a9=a1q5+a1q6a1q7+a1q8=1q2=1(1+2)2
=3-22.
答案:D
4已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则b2a1+a2的值为______________.
解析:∵1,a1,a2,9是等差数列,∴a1+a2=1+9=10.
∵1,b1,b2,b3,9是等比数列,
∴b22=1×9=9,b12=b2>0.∴b2=3.∴b2a1+a2=310.
答案:310
5某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的 倍.
解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an,
所以an+1an=1.25,
即数列{an}是公比q=1.25的等比数列.
于是a10=a1q9=1.259m,所以a10a1=1.259.
答案:1.259
★6已知a,b,c成等比数列,m,n分别是a,b和b,c的等差中项,则am+cn=_________________.
解析:∵m=a+b2,n=b+c2,b2=ac,
∴am+cn=2aa+b+2cb+c
=2a(b+c)+2c(a+b)(a+b)(b+c)=2ab+4ac+2bcab+ac+b2+bc
=2(ab+2ac+bc)ab+2ac+bc=2.
答案:2
7数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解∵an+1=2Sn,∴an=2Sn-1(n≥2,n∈N*).
∴当n≥2时,an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an.
∴an+1=3an(n≥2,n∈N*).
又a2=2S1=2a1=2,
∴数列{an}从第二项起是等比数列.
∴an=a2·3n-2=2·3n-2(n≥2,n∈N*).
综上,an=1,n=1,2·3n-2,n≥2,n∈N*.
★8设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵a1=1,Sn+1=4an+2,
∴a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5,
∴b1=a2-2a1=3.
又当n≥2时,有Sn=4an-1+2,
Sn+1-Sn=an+1=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2).
∴数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)解由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴an+12n+1-an2n=34.
∴数列an2n是首项为12,公差为34的等差数列,
∴an2n=12+34(n-1)=34n-14.
∴an=3n-14·2n=(3n-1)·2n-2.