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高中沪教版15.4几何体的表面积图片课件ppt
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这是一份高中沪教版15.4几何体的表面积图片课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了变式训练，锥台体的表面积，球的截面的有关计算，基础巩固，能力升级等内容，欢迎下载使用。
在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有时为了工作，需要度量几何体的表面积和体积．如对建筑物装饰时，需要知道建筑物的表面积；为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需计算物体的表面积等等．例如粉碎机的下料斗是正四棱台形，(如下图所示)，它的两底面边长分别为80 mm和440 mm，高为200 mm，制造这样一个下料斗需多少铁板？
1．棱柱的侧面展开图是______________的平面图形；棱锥的侧面展开图是______________的平面图形；棱台的侧面展开图是______________的平面图形．2．______________叫做多面体的表面积(又称全面积)．特别：①S柱体＝__________(c是底周长，h是高)；② S锥体＝__________(c为底周长，h′为斜高)；③S台体＝__________(c′为上底周长，c为下底周长，h′为斜高)．
3．圆柱的侧面展开图是________；圆锥的侧面展开图是________；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的________．特别：①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR2＋πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝__________(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．
矩形 扇形 一个扇环 2πR(R＋l) πR(R＋l)π(R2＋r2＋Rl＋rl)
多面体与旋转体的侧面展开图
①多面体：棱柱的侧面展开图是由平行四边形构成的平面图形；棱锥的侧面展开图是由三角形构成的平面图形；棱台的侧面展开图是由梯形构成的平面图形．②旋转体：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．特别：多面体与旋转体的侧面展开图是计算其侧面积和表面积的基础，同学们在学习中一定要借助图形来加强理解和记忆．
棱柱、棱锥体、棱台的表面积
我们知道表面积是侧面积与底面积的和，因此理解和记忆柱体、锥体、台体、球的表面积时，要学会将直棱柱、正棱锥、正棱台侧面展开在一个平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导出公式．切忌机械化记忆公式，不能灵活运用．
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．
球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)
记忆公式时要借助于球的圆进行记忆，即球面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应用了“分割、求近似值、再由近似值转化为所求”的方法，这是一种重要的数学方法——割补法，同学们在学习中要深刻领会．
柱体、锥体、台体展开图的画法，沿侧面行程的距离最短问题
如下图(1)所示，三棱锥P－ABC的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M在棱PB上移动，动点N在棱PC上移动，求AM＋MN＋NA的最小值．
分析：求空间线段长度和的最小值问题，在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题，通常是将空间图形展开后加以处理．
解析：将三棱锥P－ABC的展开成如上图(2)所示，则AM＋MN＋NA＝AN＋MN＋A1M.又∵AN＋MN＋A1M≥AA1，∴当A，M，N三点共线时，取到最小值．在图中，∵∠A1PB＝∠BPC＝∠CPA＝40°.∴在图中∠APA1＝120°.∴在△APA1中，AA1＝ ，∴A1M＋MN＋NA的最小值为 .
规律总结：简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形．借助这些几何体的平面展开图，我们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路线问题．
1．长方体AC1的长宽高分别为5、4、3，一个能爬不能飞的小虫由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的最短路程为________．
分析：小虫能爬不能飞，暗示着小虫只能沿着表面行走．利用长方体的平面展开图知识进行求解．解析：将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形．(注：将右侧面剪开，即剪开棱BB1、B1C1、C1C，可得图(1)．其余类同．)
如下图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
分析：本题给出的是一个复杂的空间组合体，该几何体由一个圆柱挖去一个圆锥构成．表面积为圆环、圆柱侧面积、底面圆、圆锥侧面积几个部分构成．
方法点拨：这是一个组合体表面积的计算问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系．
如右图，底面为菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积为6和8，则棱柱侧面积为______．
分析：关键是求出底面周长c和高h的值(或其乘积)．解析：设底面边长为x，高为h，则有
规律总结：解决与直棱柱侧面积有关的问题，其关键是抓住棱柱的侧面积公式；其次要注意利用直观图形的形象直观的分析问题，要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用．
已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如右图，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位： cm2)
分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．解析：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
规律总结：求正棱锥的侧面积关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高)，这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的直角三角形来求解．
3．设三棱锥S－ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°，又∠BAC＝60°，且SA⊥BC.(1)求证：S－ABC是正三棱锥；(2)若SA＝a，求S－ABC的全面积．
证明：(1)如右图所示作三棱锥S－ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D.∵SA⊥BC，∴AD⊥BC.
又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心．OD为BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∴OB＝OC，又OD⊥BC，∠BAC＝60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S－ABC为正三棱锥．
一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为______．
分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解．解析：如右图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则M1M为斜高．过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，
规律总结：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解．
4．正四棱台上、下底面边长为6和12，高为3 ，求该四棱台的全面积．
如下图，设上底面的中心为O1，下底面的中心为O.
设圆锥底面半径为R，高为h，求其内接圆柱的侧面积的最大值．
分析：圆锥、圆柱都是旋转体，为此，先作它们的轴截面(见下图)．∵PO＝h，AO＝OB＝R，设GD＝OF＝r，CE＝DF＝h′.则S侧＝2πrh′，这是含有两个变量r、h′的函数，为此，要找出r与h′的关系，设∠OPB＝α，
规律总结：解决与圆柱、圆锥、圆台的侧面积有关的问题，既要熟练掌握它的侧面面积公式，更要注意作出它们的轴截面，将立体问题转化为平面问题．
5．把底面半径为8 cm的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O滚动，当这个圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________．
解析：设圆锥的母线长为l，依题意：2πl＝2.5×2π×8，∴l＝20 cm.S表面积＝S底＋S侧＝π×82＋8π×20＝224π cm2.答案：20 cm 224π cm2
在表面积为2500π cm2的球内有两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2，球面在这两个平行截面间的部分叫球带，求这个球带的表面积S.
分析：这是一个新定义型的题目，通过题目告诉的条件，需要注意两个平行截面的位置关系．在球中，两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2有两种情况：①当球心在两截面之外；②当球心夹在两截面之间．分别讨论可得．
解析：①当球心在两截面之外时(如图(1))，过球心O作垂直于两个平行截面的大圆，其直径MN和两个截面分别相交于C1、C，AB、A1B1是两个平行截面的直径，则C1、C是两截面的圆心．则由已知，得
②当球心夹在两截面之间时(如图(2))，CC1＝OC1＋OC＝39 cm，∴S球带＝2πR·CM－2πR·C1M＝2πR·CC1＝1950π cm2.综合①②，所得球带表面积为450π cm2或1950π cm2.方法点拨：本题的分类讨论很重要，另外求球带的面积时用到了S球冠＝2πRh(h为球冠的高，R为球的半径)，球与其他几何体的切接问题“要仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面”，以使空间问题平面化．
6．用一张a×b的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)是多少？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．
几何体表面积公式的综合应用
9．如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．
在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有时为了工作，需要度量几何体的表面积和体积．如对建筑物装饰时，需要知道建筑物的表面积；为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需计算物体的表面积等等．例如粉碎机的下料斗是正四棱台形，(如下图所示)，它的两底面边长分别为80 mm和440 mm，高为200 mm，制造这样一个下料斗需多少铁板？
1．棱柱的侧面展开图是______________的平面图形；棱锥的侧面展开图是______________的平面图形；棱台的侧面展开图是______________的平面图形．2．______________叫做多面体的表面积(又称全面积)．特别：①S柱体＝__________(c是底周长，h是高)；② S锥体＝__________(c为底周长，h′为斜高)；③S台体＝__________(c′为上底周长，c为下底周长，h′为斜高)．
3．圆柱的侧面展开图是________；圆锥的侧面展开图是________；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的________．特别：①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR2＋πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝__________(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．
矩形 扇形 一个扇环 2πR(R＋l) πR(R＋l)π(R2＋r2＋Rl＋rl)
多面体与旋转体的侧面展开图
①多面体：棱柱的侧面展开图是由平行四边形构成的平面图形；棱锥的侧面展开图是由三角形构成的平面图形；棱台的侧面展开图是由梯形构成的平面图形．②旋转体：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．特别：多面体与旋转体的侧面展开图是计算其侧面积和表面积的基础，同学们在学习中一定要借助图形来加强理解和记忆．
棱柱、棱锥体、棱台的表面积
我们知道表面积是侧面积与底面积的和，因此理解和记忆柱体、锥体、台体、球的表面积时，要学会将直棱柱、正棱锥、正棱台侧面展开在一个平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导出公式．切忌机械化记忆公式，不能灵活运用．
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．
球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)
记忆公式时要借助于球的圆进行记忆，即球面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应用了“分割、求近似值、再由近似值转化为所求”的方法，这是一种重要的数学方法——割补法，同学们在学习中要深刻领会．
柱体、锥体、台体展开图的画法，沿侧面行程的距离最短问题
如下图(1)所示，三棱锥P－ABC的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M在棱PB上移动，动点N在棱PC上移动，求AM＋MN＋NA的最小值．
分析：求空间线段长度和的最小值问题，在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题，通常是将空间图形展开后加以处理．
解析：将三棱锥P－ABC的展开成如上图(2)所示，则AM＋MN＋NA＝AN＋MN＋A1M.又∵AN＋MN＋A1M≥AA1，∴当A，M，N三点共线时，取到最小值．在图中，∵∠A1PB＝∠BPC＝∠CPA＝40°.∴在图中∠APA1＝120°.∴在△APA1中，AA1＝ ，∴A1M＋MN＋NA的最小值为 .
规律总结：简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形．借助这些几何体的平面展开图，我们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路线问题．
1．长方体AC1的长宽高分别为5、4、3，一个能爬不能飞的小虫由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的最短路程为________．
分析：小虫能爬不能飞，暗示着小虫只能沿着表面行走．利用长方体的平面展开图知识进行求解．解析：将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形．(注：将右侧面剪开，即剪开棱BB1、B1C1、C1C，可得图(1)．其余类同．)
如下图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
分析：本题给出的是一个复杂的空间组合体，该几何体由一个圆柱挖去一个圆锥构成．表面积为圆环、圆柱侧面积、底面圆、圆锥侧面积几个部分构成．
方法点拨：这是一个组合体表面积的计算问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系．
如右图，底面为菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积为6和8，则棱柱侧面积为______．
分析：关键是求出底面周长c和高h的值(或其乘积)．解析：设底面边长为x，高为h，则有
规律总结：解决与直棱柱侧面积有关的问题，其关键是抓住棱柱的侧面积公式；其次要注意利用直观图形的形象直观的分析问题，要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用．
已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如右图，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位： cm2)
分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．解析：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
规律总结：求正棱锥的侧面积关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高)，这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的直角三角形来求解．
3．设三棱锥S－ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°，又∠BAC＝60°，且SA⊥BC.(1)求证：S－ABC是正三棱锥；(2)若SA＝a，求S－ABC的全面积．
证明：(1)如右图所示作三棱锥S－ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D.∵SA⊥BC，∴AD⊥BC.
又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心．OD为BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∴OB＝OC，又OD⊥BC，∠BAC＝60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S－ABC为正三棱锥．
一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为______．
分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解．解析：如右图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则M1M为斜高．过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，
规律总结：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解．
4．正四棱台上、下底面边长为6和12，高为3 ，求该四棱台的全面积．
如下图，设上底面的中心为O1，下底面的中心为O.
设圆锥底面半径为R，高为h，求其内接圆柱的侧面积的最大值．
分析：圆锥、圆柱都是旋转体，为此，先作它们的轴截面(见下图)．∵PO＝h，AO＝OB＝R，设GD＝OF＝r，CE＝DF＝h′.则S侧＝2πrh′，这是含有两个变量r、h′的函数，为此，要找出r与h′的关系，设∠OPB＝α，
规律总结：解决与圆柱、圆锥、圆台的侧面积有关的问题，既要熟练掌握它的侧面面积公式，更要注意作出它们的轴截面，将立体问题转化为平面问题．
5．把底面半径为8 cm的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O滚动，当这个圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________．
解析：设圆锥的母线长为l，依题意：2πl＝2.5×2π×8，∴l＝20 cm.S表面积＝S底＋S侧＝π×82＋8π×20＝224π cm2.答案：20 cm 224π cm2
在表面积为2500π cm2的球内有两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2，球面在这两个平行截面间的部分叫球带，求这个球带的表面积S.
分析：这是一个新定义型的题目，通过题目告诉的条件，需要注意两个平行截面的位置关系．在球中，两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2有两种情况：①当球心在两截面之外；②当球心夹在两截面之间．分别讨论可得．
解析：①当球心在两截面之外时(如图(1))，过球心O作垂直于两个平行截面的大圆，其直径MN和两个截面分别相交于C1、C，AB、A1B1是两个平行截面的直径，则C1、C是两截面的圆心．则由已知，得
②当球心夹在两截面之间时(如图(2))，CC1＝OC1＋OC＝39 cm，∴S球带＝2πR·CM－2πR·C1M＝2πR·CC1＝1950π cm2.综合①②，所得球带表面积为450π cm2或1950π cm2.方法点拨：本题的分类讨论很重要，另外求球带的面积时用到了S球冠＝2πRh(h为球冠的高，R为球的半径)，球与其他几何体的切接问题“要仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面”，以使空间问题平面化．
6．用一张a×b的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)是多少？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．
几何体表面积公式的综合应用
9．如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．
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