数学沪教版15.5几何体的体积教案配套课件ppt

这是一份数学沪教版15.5几何体的体积教案配套课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了柱体的体积，锥体的体积，变式训练，解析·，台体的体积，球体的体积，球的表面积，基础巩固，能力升级，多面体体积的综合应用等内容，欢迎下载使用。

空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积，如右图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？
1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积________；②体积相等的几何体叫________；③两个等积体的几何体的形状________相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积________．2．①棱柱的体积公式：V柱体＝_______(S为底面面积，h为柱体的高)；②棱锥的体积公式：V锥体＝_________(S为底面面积，h为棱锥的高)；③台体的体积公式：V台体＝________(S′、S为两底面面积，h为台体的高)．
3．①圆柱的体积公式：V柱体＝________(R为底面圆的半径，h为圆柱的高)；②圆锥的体积公式：V圆锥体＝________(R为底面圆的半径，h为圆锥的高)；③圆台体的体积公式：V圆台体＝______(r、R为两底面圆半径，h为台体的高)．4．球的体积公式：V球＝____(R为球半径)，表面积公式为：S球＝______.
棱、锥、台和球的体积公式
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的几何体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等，等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：
对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为 (4πR2)·R.
棱柱ABC－A′B′C′的侧面AA′C′C的面积为S，且这侧面与它相对的侧棱BB′之间的距离为a，求这棱柱的体积．
分析：此题若直接求底ABC的面积及其上的高，将是困难的，能否考虑采取补充或截割的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如右图设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一个平行六面体，再将面AA′C′C看作底求出．
解析：如右图过侧棱BB′、CC′分别作侧面AC′、AB′的平行平面，DD′是交线；再伸展两底面，得到平行六面体ABDC－A′B′D′C′.∵侧面AA′C′C的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDD′B－ACC′A′的高为a.
规律总结：这里几何体虽然是柱体，但在已知条件下不易求体积，此解法中将三棱柱补成平行六面体后便于求体积，要认真领会．
如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积V.
规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段，由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则它就与这个平面垂直．本例中，由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB与PC相交于点P，所以PA垂直平面PBC，即PA为三棱锥A－PBC的高，从而顺利地求出其体积．本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而是把它转化为三棱锥A－PBC的高，这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握．
1．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．
三棱台ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为________．
解析：如右图，三棱锥A1－ABC的顶点看做A1，底面看做ABC；三棱锥C－A1B1C1的顶点看做C，底面看做A1B1C1；三棱锥B－A1B1C可看做棱台减去两个三棱锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可．
规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其台体的体积；三是利用割补法来求其体积．(如本例)(2)三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的思想方法．
2．已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm，求其体积．
三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍．
分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系．
规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为半径，球的直径为高的圆柱的体积的三分之二．在求球的体积时，其关键是求球的半径．
3．一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是________．
已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．
分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过球的直径的球的平面)．解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
规律总结：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
4．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆半径为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离为d＝27 cm，求球的表面积．
解析：显然，两平行平面所截得的两截面圆应在球心的异侧，设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2，上述大圆垂直于A1B1的直径交A1B1、A2B2于O1、O2，如下图所示．
有关组合体的表面积和体积
求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积．
分析：如右图所示，显然正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的截面，则其截面为圆内一正方形(正方形的各顶点均在内，而不是在圆上)．因此这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系．注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．
解析：如上图，过正方体的对角面ACC1A1作球的截面，则球心为AC1的中点，设正方体的棱长为x，则
规律总结：正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图，平时学习时最好是自己动手做实物模型，由模型作出相应的轴截面即可．
5．如右图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝ ，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积．
分析：这个多面体是一个不规则的图形，其形状犹如木工常用的木楔，立体几何中把这种几何体称为楔体，所以必须运用割补的方法，将其化归为棱柱或棱锥进行体积计算．
方法点拨：(1)本题充分结合图形的特征，强化割补的思想方法，考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力．(2)某些立体几何问题，如果直接根据原有的图形解题困难时，那么不妨将此图形巧妙地分割或补形，转化为我们熟悉的柱、锥等比较规则的或易于研究的几何体来处理，从而实现化繁为简、化难为易，便于解决问题．(3)等积转化，亦称等积变换，通常是指用不同的方式求同一几何体的体积(或同一平面图形的面积)．
棱柱、棱锥和棱台的体积
2．已知高为3的直棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B1－ABC的体积为________．
10．在三棱锥A－BCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥A－BPQ、B－CPQ、C－DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A－BCD的体积为________．
解析：如右图，VA－BPQ：VB－CPQ＝6：2，VB－APQ：VB－CPQ＝S△APQ ：S△CPQ＝6：2，类似地VA－DPQ：VC－DPQ＝VD－APQ：VD－CPQ＝S△APQ：S△CPQ＝6：2.其中VC－DPQ＝8.∴VA－DPQ：8＝6：2，∴VA－DPQ＝24，∴VA－BDC＝6＋2＋8＋24＝40.答案：40