2020-2021学年3.2 函数的基本性质测试题

这是一份2020-2021学年3.2 函数的基本性质测试题，共13页。试卷主要包含了已知函数f=2x-3x+1等内容，欢迎下载使用。

题组一 求函数的最大(小)值
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是( )

A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2 D.f(2),2
2.(2021北京房山高一上期中)函数y=2x2-2x-1在区间[-1,1]上的最小值为( )
A.-12B.-1C.-32D.-2
3.函数y=x+3,x<1,-x+6,x≥1的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2021北京丰台高一上期中)已知x>2,函数y=4x-2+x的最小值是( )
A.5 B.4 C.6 D.8
5.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f(x)=2x-3x+1.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
题组二 函数最大(小)值在实际问题中的应用
6.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);
(2)若日销售利润为P(单位:元),根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.
7.(2020山东济南历城二中高一上期末)有一批材料,可以建成长为240 m的围墙.如图,如果用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,怎样围才能使矩形场地的面积最大?最大面积为多少?
题组三 函数最大(小)值在求参中的应用
8.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )

A.2 B.-2
C.2或-2D.0
9.(2021山东淄博高一上期中)若函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,则m的取值范围是( )
A.(5,9)B.(-11,-7)
C.[5,9]D.[-11,-7]
10.(2021江苏南通如东高一上期中)设f(x)=x2-2ax+1,x∈[0,2],当a=3时, f(x)的最小值是 ,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围为 .
11.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.
题组四 函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用
12.若∀x∈0,12,都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为( )
A.0 B.-2C.-52 D.-12
13.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若∃x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是( )
A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)
C.[-3,0]D.[-4,0]
14.(2021天津南开学校高一上期中)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为 .
15.已知函数f(x)=x-1x+2,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.
16.(2021安徽合肥八中高一上期中)已知二次函数f(x)满足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的图象经过点(2,-4).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈[-3,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 求函数的最大(小)值
1.(2020天津滨海高一上期末,)给定函数f(x)=x2,g(x)=x+2,∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值为( )
A.-1B.1 C.2 D.4
2.(2020河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-x+1的最小值为( )
A.-178B.-2C.-198D.-94
3.(多选)(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知函数y=11-x-x(x>1),则该函数( )
A.最大值为-3B.最小值为1
C.没有最小值D.最小值为-3
4.(2021山西太原高一上期中,)若函数f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值为m,最小值为n,则m+n= .
5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].
(1)若a=12,求函数f(x)的最值;
(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.
题组二 函数最大(小)值的综合应用
6.(2020河南洛阳一中高一上月考,)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( )
A.(0,4]B.32,4 C.32,3 D.32,+∞
7.()已知函数f(x)=-x3+2,x<0,-x+3,x≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数k的取值范围为( )
A.(0,2] B.0,23 C.(0,3] D.(1,2]
8.(多选)()已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是( )
A.∀x∈[-2,2], f(x)>a恒成立,则a的取值范围是(-∞,-3)
B.∃x∈[-2,2], f(x)>a,则a的取值范围是(-∞,-3)
C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则a的取值范围是[-1,3]
D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)
9.(多选)(2020山东济南高一上期末,)一般地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”.特别地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b=3
B.函数f(x)=2-3x不存在跟随区间
C.若函数f(x)=m-x+1存在跟随区间,则m∈-14,0
D.二次函数f(x)=-12x2+x存在“3倍跟随区间”
10.(2020天津河西高一上期末,)设f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a,x>0.若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围为 .
11.(2021北京房山高一上期中,)定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.
(1)判断函数g(x)=x是不是函数f(x)=2x2的一个承托函数,并说明理由;
(2)请写出函数f(x)=|x|的一个承托函数;
(3)若函数g(x)=2x-a为函数f(x)=ax2的一个承托函数,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.
2.C 因为y=2x2-2x-1的图象开口向上,对称轴为直线x=12,
所以在区间[-1,1]上,当x=12时,函数取得最小值-32.故选C.
3.C 当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x≥1时,函数y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.
4.C 已知x>2,则x-2>0,
y=4x-2+x=4x-2+(x-2)+2
≥24x-2·(x-2)+2=6,
当且仅当4x-2=x-2,即x=4时等号成立,
∴函数的最小值是6.故选C.
5.解析 (1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=2x1-3x1+1-2x2-3x2+1
=(2x1-3)(x2+1)(x1+1)(x2+1)-(2x2-3)(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=5(x1-x2)(x1+1)(x2+1).
∵x1∴(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是增函数,
故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)=2×9-39+1=32,
最小值为f(2)=2×2-32+1=13.
6.解析 (1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0).
由题中表格可得45a+b=27,50a+b=12,解得a=-3,b=162,
所以y=f(x)=-3x+162.
又y≥0,所以30≤x≤54,
故所求函数关系式为y=f(x)=-3x+162,x∈[30,54].
(2)由题意得,
P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.
7.信息提取 ①一批材料可以建成长为240米的围墙;②用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地;③中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形.
数学建模 以建造矩形场地为背景构建函数模型,利用基本不等式求解问题.
解析 设每个小矩形与墙垂直的一边长为x m,其邻边长为y m,其中x>0,y>0,依题意可知4x+3y=240,则0故矩形场地的面积S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)≤4×x+60-x22=3 600,
当且仅当x=30时取等号,所以当x=30时,矩形场地的面积最大,为3 600 m2.
8.C 由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.
9.B 由题意可得3<-m+12<5,
解得-1110.答案 -7;(-∞,0]
解析 当a=3时, f(x)=x2-6x+1在x∈[0,2]上单调递减,
∴f(x)min=f(2)=-7.
由函数的解析式知f(0)=1,若f(x)的最小值为1,则f(x)在x∈[0,2]上单调递增,
而f(x)=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,
∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].
11.解析 (1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,
∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,
又f(0)=-1, f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.
(2)易知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=a,
①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,
则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;
②当0则f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合，舍去;
③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.
综上所述,a=-2或a=3.
12.D 设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对任意x∈0,12都成立,可得f(x)min≥0.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x∈0,12时, f(x)min=a+12,所以a+12≥0,即a≥-12,所以amin=-12.故选D.
13.C ∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m, f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为[m,m+3].
由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0.故选C.
14.答案 15,+∞
解析 ∵x>0,∴xx2+3x+1>0,根据题意知a>0.
∴x2+3x+1x≥1a,∴1a≤x+1x+3.
∵x>0,∴x+1x+3≥2x·1x+3=5(当且仅当x=1时取等号),
∴1a≤5,∴a≥15.
15.解析 (1)f(x)在[3,5]上为增函数.
证明:任取x1,x2∈[3,5],且x1则f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2).
∵3≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.
由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,
∴f(x)min=f(3)=25,∴25>a,即a<25,
故实数a的取值范围是-∞,25.
(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.
由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,
∴f(x)max=f(5)=47,∴47>a,即a<47,
故实数a的取值范围是-∞,47.
16.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,
所以f(x)-f(x-1)=2ax-a+b,
又因为f(x)-f(x-1)=2x+1,
所以2a=2,-a+b=1,解得a=1,b=2,
所以f(x)=x2+2x+c.
因为f(x)的图象过点(2,-4),
所以-4=22+2×2+c,解得c=-12,
所以f(x)=x2+2x-12.
(2)由题意知,x2+2x-12≤mx,x∈[-3,2],
所以x2+(2-m)x-12≤0,x∈[-3,2].
记g(x)=x2+(2-m)x-12,x∈[-3,2].
则g(x)max≤0,
由g(x)的图象开口向上,知函数g(x)的最大值是g(2)或g(-3),
所以g(2)≤0,g(-3)≤0,即-4-2m≤0,-9+3m≤0,
解得-2≤m≤3,所以m∈[-2,3].
能力提升练
1.B 在同一直角坐标系中,作出函数f(x)=x2,g(x)=x+2的图象,由M(x)的定义知,函数M(x)的图象如图中实线部分所示.
由图象知,当x=-1时,M(x)取得最小值1.故选B.
2.A 设t=x+1(t≥0),则x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函数g(t)=2t2-t-2在0,14上单调递减,在14,+∞上单调递增,∴f(x)min=g(t)min=g14=-178,故选A.
3.AC ∵x>1,
∴y=11-x-x=-1x-1+x-1-1≤
-21x-1·(x-1)-1=-2-1=-3,
当且仅当1x-1=x-1,即x=2时取等号,
∴函数的最大值为-3,无最小值,故选AC.
4.答案 0
解析 当x<-1时, f(x)=-x+2+x+1=3,
当-1≤x≤2时, f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,
此时f(x)min=f(2)=-3, f(x)max=f(-1)=3,
当x>2时, f(x)=x-2-x-1=-3.
综上, f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,
所以m+n=0,故答案为0.
5.解析 (1)当a=12时,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其图象开口向上,且对称轴方程为x=-12,
∴函数y=f(x)在-1,-12上单调递减,在-12,1上单调递增,
∴f(x)的最小值为f-12=-54,
又f(-1)=-1, f(1)=1,∴f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f-12=-54.
(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图象开口向上,且对称轴方程为x=-a,
当-a≤-1,即a≥1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2a;
当-1<-a<1,即-1∴f(x)min=f(-a)=-a2-1;
当-a≥1,即a≤-1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=2a.
综上可得,g(a)=-2a,a≥1,-a2-1,-16.C ∵y=f(x)=x2-3x-4=x-322-254,∴f32=-254,且f(0)=f(3)=-4,
由已知及二次函数的图象可知,m的值最小为32,最大为3,即m的取值范围是32,3,故选C.
7.A 在函数f(x)中,当x∈[-1,0)时, f(x)是减函数,因此, f(x)∈(2,3];
当x∈[0,1]时, f(x)也是减函数,因此, f(x)∈[2,3].
∴当x∈[-1,1]时, f(x)∈[2,3],即f(x)max=3.
在函数g(x)中,由k>0知,g(x)在[-1,1]上单调递增,
∴g(x)max=g(1)=k+5-2k=5-k.
若∀x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2),
则3≤5-k,解得k≤2,又k>0,∴0故选A.
8.AC 在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3], f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D错误.故选AC.
解题模板 不等式恒成立(有解)等问题的求解,常将问题转化为最大(小)值问题,记住下列转化有利于解题:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)a有解⇔f(x)max>a;④ f(x)9.BCD 对于A,因为f(x)=x2-2x+2在区间[1,b]上为增函数,故其值域为[1,b2-2b+2],若[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b2-2b+2=b,解得b=1或b=2,因为b>1,所以b=2.故A错误.
对于B,因为函数f(x)=2-3x在区间(-∞,0)与(0,+∞)上均为增函数,所以若f(x)=2-3x存在跟随区间[a,b],则有a=2-3a,b=2-3b,即a,b为2-3x=x的两根.
因为x2-2x+3=0无解,所以函数f(x)=2-3x不存在跟随区间.故B正确.
对于C, 因为f(x)=m-x+1为减函数,所以若函数f(x)=m-x+1存在跟随区间[a,b],则b=m-a+1,a=m-b+1,则a-b=a+1-b+1,a所以(a-b)(a+1+b+1)=(a+1)-(b+1)=a-b,因为a≠b,所以a+1+b+1=1.
易得0≤a+1所以a=m-b+1=m-(1-a+1),令t=a+1,则t2-t-m=0,同理t=b+1也满足t2-t-m=0,即t2-t-m=0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根,
故1+4m>0,-m≥0,解得m∈-14,0,故C正确.
对于D,若f(x)=-12x2+x存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[a,b],值域为[3a,3b].当a10.答案 [0,2]
解析 当x>0时, f(x)=x+1x+a≥2·x·1x+a=2+a,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,此时f(x)有最小值2+a.
因为f(0)是f(x)的最小值,
所以当x≤0时, f(x)=(x-a)2单调递减,故a≥0,
此时最小值f(0)=a2,
故2+a≥a2,解得-1≤a≤2,
又a≥0,所以0≤a≤2.
故实数a的取值范围为[0,2].
11.解析 (1)函数g(x)=x不是函数f(x)=2x2的一个承托函数,
当x=14时,g(x)=14, f(x)=18,此时f(x)故函数g(x)=x不是函数f(x)=2x2的承托函数.
(2)根据承托函数的定义可得函数f(x)=|x|的一个承托函数是g(x)=12x.(答案不唯一)
(3)若函数g(x)=2x-a为函数f(x)=ax2的一个承托函数,
则ax2≥2x-a对一切实数x都成立,
即ax2-2x+a≥0对一切实数x都成立,
当a=0时,g(x)=2x, f(x)=0,此时g(x)不是f(x)的承托函数,
当a≠0时,要满足题意,则有a>0,4-4a2≤0,
解得a≥1,
故实数a的取值范围为[1,+∞).
x
45
50
y
27
12