人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时课后作业题

第1课时 奇偶性的概念

分层演练  综合提升

A级　基础巩固

1.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　)

A         B         C          D

答案:B

2.若f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时 (　　)

A.f(x)≤2　 　　　　 B.f(x)≥2

C.f(x)≤-2　 　　  　 D.f(x)∈R

答案:B

3.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx (　　)

A.是奇函数但不是偶函数

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

答案:A

4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为(-∞,0].

5.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=x3+x5;

(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;

(3)f(x)=.

解: (1)函数的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)f(x)的定义域是R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.

(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.

B级　能力提升

6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=              (　　)

A.-3      B.-1      C.1　　     D.3

解析:用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,

令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.

答案:C

7.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=.

解析:根据题意,知f(x)==1+,令h(x)=,则h(x)是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.

8.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c的值.

解:因为函数f(x)=是奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

因此,有=-,所以c=-c,即c=0.

所以f(x)=.

又因为f(1)=2,所以a+1=2b,

由f(2)<3,得<3,解得-1<a<2 .

因为a,b,c∈Z,所以a=0或a=1,

当a=0时,b=∉Z,故舍去;当a=1时,b=1.

综上可知,a=1,b=1,c=0.

C级　挑战创新

9.多选题下列说法正确的是 (　　)

A.f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数

B.g(x)=既不是奇函数也不是偶函数

C.F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数

D.h(x)=+既是奇函数,又是偶函数

解析:对于A项,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,A正确;

对于B项,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,关于原点对称.所以g(x)===,满足g(-x)=-g(x),故y=g(x)是奇函数,B项错误;

对于C项,因为F(x)=f(x)f(-x),所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(x∈R),所以F(x)=f(x)·f(-x)是偶函数,C项正确;

对于D项,由解得x=±1,故函数h(x)的定义域为{-1,1},且h(x)=0,所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,D项正确.

答案:ACD

10.多空题设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(3)=,f(5)=.

解析:因为f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2).

又因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).于是f(2)=2f(1)=1;令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=,于是f(5)=f(3)+f(2)=.