高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式第1课时测试题

课后素养落实(十三)　一元二次不等式及其解法

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A．　　　 B．

C．∅ D．

D　[(3x＋1)2≤0，

∴3x＋1＝0，∴x＝－.]

2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　)

A．{1,2,3} B．{1,2}

C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}

B　[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3，

又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.故A∩B＝{1,2}．]

3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　)

A. B．

C. D．

D　[0<t<1时，t<，∴原不等式的解集为.]

4．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为(　　)

A．2 B．－1

C．0 D．1

C　[由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，

得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，

由根与系数的关系知，

解得b＝－1，c＝2；

所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0.]

5．(多选题)在R上定义运算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值可能是(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

AB　[根据定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故－2<x<1.]

二、填空题

6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．

{x|－4＜x＜1}　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.]

7．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a＝________，实数b＝________.

－1　1　[由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．

由根与系数的关系得

解得a＝－1，b＝1.]

8．如果关于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则m的取值范围________．

(－∞，0)∪　[m＝0时，不等式化为21<0，此时不等式的解集为空集，所以m≠0；

m≠0时，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则

①当m>0时，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>；

②当m<0时，mx2＋8mx＋21<0恒成立；

综上知，m的取值范围是(－∞，0)∪.]

三、解答题

9．求下列不等式的解集：

(1)x2－5x＋6>0；

(2)－x2＋3x－5>0.

[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．

(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.

10．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)．

[解]　当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．

当a<0时，

原不等式化为(x－2)<0，

这时两根的大小顺序为2>，

则原不等式的解集为.

当a>0时，

原不等式化为(x－2)>0.

①当0<a<1时，

两根的大小顺序为2<，

则原不等式的解集为.

②当a＝1时，2＝，

则原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．

③当a>1时，两根的大小顺序为2>，

则原不等式的解集为.

综上所述，对于原不等式，

当a＝0时，解集为{x|x<2}；

当a<0时，解集为；

当0<a<1时，解集为；

当a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠2}．

当a>1时，解集为.

1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为(　　)

A．{x|－2<x<1}

B．{x|x>2或x<－1}

C．{x|x>1或x<－2}

D．{x|x<－1或x>1}

C　[∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，

∴解得

∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，

解得x>1或x<－2.]

2．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论中正确的是(　　)

A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3

C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3

ABC　[由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，

∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两个根．

∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3.

x2－x1＝＝＝2>4.

由x2－x1>4，可得：－1<x1<x2<3是错误的．]

3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝________.

2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1<x<m}．

所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．

则，即1＋m＝，

所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.]

4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为∅，则a的取值范围为________．若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A且A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．

(－1,2)　(－1，]　[若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2.

若A⊆{x|1≤x≤3}，则设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，

所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.

若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，

即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2.

若A≠∅，

则

即所以2≤a≤.

综上，a的取值范围为－1＜a≤.]

已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．

[解]　原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，

由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，

所以a<－1或a>.

若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，

所以3－2a>，

此时不等式的解集是；

若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，

所以3－2a<，

此时不等式的解集是.

综上，当a<－1时，原不等式的解集为，

当a>时，原不等式的解集为.