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高中数学3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优秀ppt课件
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这是一份高中数学3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优秀ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
一、二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2+ bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的零点.
【概念理解】（1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）.（2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点.（3）将概念推广到一般情况：如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数f（x）的零点.
示例 函数y＝x2-3x+2的零点是1和2，求方程x2-3x+2＝0的根即可.
二、二次函数零点与一元二次方程的根之间的关系当a>0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根、二次函数y＝ax2+bx+c的图象、二次函数y＝ax2+bx+c的零点之间的关系如下表：
示例 二次函数y＝x2+（a-1）x+1（a>0）只有一个零点，则方程ax2-8x-a＝0的根为 .
三、一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式及相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、一元二次方程的根之间的关系如下表：
【说明】（1）函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y＝ax2+bx+c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2+ bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.（2）方程的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.【提示】利用二次函数图象的直观形象，可以快速地得到它所必须满足的条件，具体做法是先作出符合根的分布的二次函数图象，由图象可得到f（x）在区间端点的函数值和判别式的符号，以及对称轴的位置等情况，从而找到所需满足的条件.但应注意的是，由图象所得出的条件必须能推出符合题意的根的分布.
示例 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-20的解集为{x|-2
四、一元二次不等式及解法 1.一元二次不等式（1）定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.（2）形式：一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）.
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.提示：不可以，若a＝0，就不是一元二次不等式了.
2.（x-a）（x-b）>0或（x-a）（x-b）<0型不等式的解集
3.求解一元二次不等式的过程以ax2+bx+c>0（a>0）为例.
【解题必备】求解一元二次不等式的常见方法（1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①将不等式化为标准形式：ax2+ bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0）；②求方程ax2+bx+c＝0（a>0）的根，并画出对应函数y＝ax2+bx+c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m0，则x>n或x
【解析】不等式①3x+4<0是一元一次不等式；②x2+mx-1>0是一元二次不等式；③ax2+4x-7>0，当a＝0时，是一元一次不等式，当a≠0时，是一元二次不等式；④x2<0是一元二次不等式.所以一定为一元二次不等式的有②④这2个.
示例 解不等式-x2+2x-3>0.
【点拨】将-x2+2x-3>0转化为x2-2x+3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
【解】 不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ<0，方程x2-2x+3＝0无实数解，而函数y＝x2-2x+3的图象开口向上，所以原不等式的解集是.
五、简单的分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式（1）分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.（2）分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.
【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式求解.
2.高次不等式（1）最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.（2）高次不等式的解法解简单高次不等式常用数轴标根法（或称“区间法”、“穿根法”）.如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法（亦称“穿针引线法”）求解，具体步骤如下：
【注意】 （1）不等式若带“＝”，点画为实心，解集边界处应有等号（闭区间）；（2）在画数轴时，一般应标上表示0的点，在画线时，一定要考虑是否穿过它.
【点拨】 穿针引线法的发现归功于从简单到复杂、从具体到一般的观察，发现问题，提出问题，进而解决问题.这就是逻辑推理素养中的归纳.
一、求解一元二次不等式1.求解不含参数的一元二次不等式例 1 解下列不等式：（1）-3x2+6x≤2；（2）4x2+4x+1>0；（3）-x2+6x-10>0.
【类题通法】解不含参数的一元二次不等式的方法方法1：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.方法2：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.方法3：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法.
【方法总结】含参一元二次不等式的解法
2.求解简单的高次不等式例 4 不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0的解集为 .
【分析】根据“数轴穿根法”求解即可. 【解析】根据题意，作出如图所示的图形，由图可知，不等式的解集为（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］.
（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］
例 6 设函数f（x）＝mx2-mx-1（m≠0），若对于x∈［1，3］.（1）f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围.（2）f（x）<5-m无解，求m的取值范围.
四、二次函数零点的分布例 7 对任意x∈（1，2］，函数f（x）＝x2-2ax+4有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是 .
五、一元二次不等式的实际应用问题例 8 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0
1. 二次函数y＝ax2+bx+c的零点为2，3.则a∶b∶c＝（ ）A. 1∶（-5）∶6B. 1∶2∶3C. 3∶2∶1D. （-5）∶6∶12. 若不等式f（x）＝ax2-x-c>0的解集为（-2，1），则函数y＝f（x）的大致图象为（ ）
A BC D
8. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）.
9. 是否存在这样的实数a，使函数y＝x2+（3a-2）x+a-1在区间［-1，3］上有且只有一个零点.若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由.
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
一、二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2+ bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的零点.
【概念理解】（1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）.（2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点.（3）将概念推广到一般情况：如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数f（x）的零点.
示例 函数y＝x2-3x+2的零点是1和2，求方程x2-3x+2＝0的根即可.
二、二次函数零点与一元二次方程的根之间的关系当a>0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根、二次函数y＝ax2+bx+c的图象、二次函数y＝ax2+bx+c的零点之间的关系如下表：
示例 二次函数y＝x2+（a-1）x+1（a>0）只有一个零点，则方程ax2-8x-a＝0的根为 .
三、一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式及相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、一元二次方程的根之间的关系如下表：
【说明】（1）函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y＝ax2+bx+c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2+ bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.（2）方程的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.【提示】利用二次函数图象的直观形象，可以快速地得到它所必须满足的条件，具体做法是先作出符合根的分布的二次函数图象，由图象可得到f（x）在区间端点的函数值和判别式的符号，以及对称轴的位置等情况，从而找到所需满足的条件.但应注意的是，由图象所得出的条件必须能推出符合题意的根的分布.
示例 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2
四、一元二次不等式及解法 1.一元二次不等式（1）定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.（2）形式：一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）.
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.提示：不可以，若a＝0，就不是一元二次不等式了.
2.（x-a）（x-b）>0或（x-a）（x-b）<0型不等式的解集
3.求解一元二次不等式的过程以ax2+bx+c>0（a>0）为例.
【解题必备】求解一元二次不等式的常见方法（1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①将不等式化为标准形式：ax2+ bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0）；②求方程ax2+bx+c＝0（a>0）的根，并画出对应函数y＝ax2+bx+c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m
【解析】不等式①3x+4<0是一元一次不等式；②x2+mx-1>0是一元二次不等式；③ax2+4x-7>0，当a＝0时，是一元一次不等式，当a≠0时，是一元二次不等式；④x2<0是一元二次不等式.所以一定为一元二次不等式的有②④这2个.
示例 解不等式-x2+2x-3>0.
【点拨】将-x2+2x-3>0转化为x2-2x+3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
【解】 不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ<0，方程x2-2x+3＝0无实数解，而函数y＝x2-2x+3的图象开口向上，所以原不等式的解集是.
五、简单的分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式（1）分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.（2）分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.
【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式求解.
2.高次不等式（1）最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.（2）高次不等式的解法解简单高次不等式常用数轴标根法（或称“区间法”、“穿根法”）.如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法（亦称“穿针引线法”）求解，具体步骤如下：
【注意】 （1）不等式若带“＝”，点画为实心，解集边界处应有等号（闭区间）；（2）在画数轴时，一般应标上表示0的点，在画线时，一定要考虑是否穿过它.
【点拨】 穿针引线法的发现归功于从简单到复杂、从具体到一般的观察，发现问题，提出问题，进而解决问题.这就是逻辑推理素养中的归纳.
一、求解一元二次不等式1.求解不含参数的一元二次不等式例 1 解下列不等式：（1）-3x2+6x≤2；（2）4x2+4x+1>0；（3）-x2+6x-10>0.
【类题通法】解不含参数的一元二次不等式的方法方法1：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.方法2：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.方法3：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法.
【方法总结】含参一元二次不等式的解法
2.求解简单的高次不等式例 4 不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0的解集为 .
【分析】根据“数轴穿根法”求解即可. 【解析】根据题意，作出如图所示的图形，由图可知，不等式的解集为（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］.
（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］
例 6 设函数f（x）＝mx2-mx-1（m≠0），若对于x∈［1，3］.（1）f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围.（2）f（x）<5-m无解，求m的取值范围.
四、二次函数零点的分布例 7 对任意x∈（1，2］，函数f（x）＝x2-2ax+4有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是 .
五、一元二次不等式的实际应用问题例 8 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0
1. 二次函数y＝ax2+bx+c的零点为2，3.则a∶b∶c＝（ ）A. 1∶（-5）∶6B. 1∶2∶3C. 3∶2∶1D. （-5）∶6∶12. 若不等式f（x）＝ax2-x-c>0的解集为（-2，1），则函数y＝f（x）的大致图象为（ ）
A BC D
8. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）.
9. 是否存在这样的实数a，使函数y＝x2+（3a-2）x+a-1在区间［-1，3］上有且只有一个零点.若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由.
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