高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优质第2课时2课时学案设计

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第2课时 一元二次不等式的应用








汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．


在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别是什么？试判断甲、乙两车有无超速现象．








1．分式不等式的解法


主导思想：化分式不等式为整式不等式


思考1：eq \f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将eq \f(x－3,x＋2)>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？


[提示] 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．


2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件


(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法


思考2：x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？


[提示] x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．


3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤


(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．


(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．


(3)解不等式(或求函数最值)．


(4)回扣实际问题．


思考3：解一元二次不等式应用题的关键是什么？


[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．





1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B等于( )


A．{x|－1≤x<0} B．{x|0

C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}


B [∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0

2．不等式eq \f(x＋1,x)≥5的解集是 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

3．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．


(0,8) [因为x2－ax＋2a>0在R上恒成立，


所以Δ＝a2－4×2a<0，所以0

4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 ．





[10,30] [设矩形高为y m，由三角形相似得：eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30．]





【例1】 解下列不等式：


(1)eq \f(x－3,x＋2)<0；


(2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1．


[解] (1)eq \f(x－3,x＋2)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2

∴原不等式的解集为{x|－2

(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，


∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，


∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，


即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0．


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，


解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4))))．





1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．


2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．





eq \([跟进训练])


1．解下列不等式：(1)eq \f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq \f(5x＋1,x＋1)<3．


[解] (1)根据商的符号法则，不等式eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))


解这个不等式组，可得x≤－1或x>3．


即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．


(2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0，


即eq \f(2x－1,x＋1)<0．


可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，


解得－1

所以，原不等式的解集为{x|－1




【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．


[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%．


[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．


y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%


＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0

依题意，得y≥2 400m×8%×78%，


即－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，


整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．


根据x的实际意义，知0




解不等式应用题的步骤








eq \([跟进训练])


2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．


[解] 设花卉带的宽度为x m(0




[探究问题]


1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，ax2＋2x＋2>0恒成立，如何求实数a的取值范围？


[提示] 若a＝0，显然ax2＋2x＋2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq \f(1,2)．


2．若函数y＝x2－ax－3对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？


[提示] 要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由函数y＝x2－ax－3的图象可知，此时a应满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－32＋3a－3<0，,－12＋a－3<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋6<0，,a－2<0，))


解得a<－2．


故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立．


3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？


[提示] 由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y＝f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4．


要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋x2－4x＋4<0，,－3×2x＋x2－4x＋4<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0.))


因为x2－2x＋4<0的解集是空集，


所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．


【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，y≥0恒成立，求a的取值范围．


[思路点拨] 对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．


[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]时的最小值为m，则


(1)当对称轴x＝－eq \f(a,2)<－2，即a>4时，m＝7－3a≥0，解得a≤eq \f(7,3)，与a>4矛盾，不符合题意．


(2)当－eq \f(a,2)∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，m＝3－a－eq \f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2．


(3)当－eq \f(a,2)>2，即a<－4时，m＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4．


综上，a的取值范围为－7≤a≤2．





1．(变结论)本例条件不变，若y≥2恒成立，求a的取值范围．


[解] 若x∈[－2,2]，y≥2恒成立可转化为：当x∈[－2,2]时，函数的最小值m≥2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)<－2，,m＝7－3a≥2))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤－\f(a,2)≤2，,m＝3－a－\f(a2,4)≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)>2，,m＝7＋a≥2，))


解得a的取值范围为[－5，－2＋2eq \r(2)]．


2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．


[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，


∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，


∴Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2．


法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足函数的最小值m＝a2－4>0，解得a>2或a<－2．


法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2．





1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；


当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))


2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；


当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))


3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，


y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．











1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有分母时，分母不为零．


2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：


(1)若关于x的函数有最大值M，则a>y恒成立⇔a>M；(2)若关于x的函数有最小值m，则a




1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)不等式eq \f(1,x)>1的解集为x<1．( )


(2)求解m>x2＋mx恒成立时，可转化为求解函数y＝x2＋mx的最大值，从而求出m的范围．( )


[提示] (1)eq \f(1,x)>1⇒eq \f(1,x)－1>0⇒eq \f(x－1,x)<0⇒{x|0

(2)错．因为参数m没有完全分离出来．


[答案] (1)× (2)×


2．不等式eq \f(x＋12x－3,x＋2)<0的解集为( )


A．{x|－2

B．{x|－2

C．{x|－1

D．{x|－3

A [原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x－3<0，,x＋1≠0，))∴－2

3．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立，则a的取值范围是 ．


(－∞，5] [原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，设y＝－x2＋2x＋8，易知该函数在[1,3]上的最小值为5．


∴a∈(－∞，5]．]


4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？


[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得15≤x<20．


所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)


2．理解三个“二次”之间的关系．


3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．


2．借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养．
类型
同解不等式
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数)
法一：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))


法二：


(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
eq \f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)
法一：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))


法二：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞k


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(先移项通分转化为上述两种形式
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y最大值≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y最小值≥k
分式不等式的解法
一元二次不等式的应用
不等式恒成立问题