高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式第2课时课时训练

课后素养落实(十四)　一元二次不等式的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|－1<x≤1}　　　 B．{x|－1≤x<1}

C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x<1}

B　[原不等式⇔

∴－1≤x<1.]

2．不等式<0的解集为(　　)

A．{x|－1<x<2或2<x<3}

B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3}

D．{x|－1<x<2}

A　[原不等式⇔

∴－1<x<3且x≠2.]

3．当x∈R时，不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是(　　)

A．m>2 B．m<2

C．m<0或m>2 D．0<m<2

D　[因为x2＋mx＋>0恒成立．所以Δ＝m2－4×<0，即0<m<2.]

4．(多选题)不等式组有解，则实数a的可能值为(　　)

A．0　　 B．1 

C．2　　 D．3

ABC　[由题意知，a2＋1<x<4＋2a，

∴只需4＋2a>a2＋1即a2－2a－3<0，

∴－1<a<3.]

5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．－1<a<1 B．0<a<2

C．－<a< D．－<a<

C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

又不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，

即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

解得－<a<，故选C.]

二、填空题

6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

(－∞，－5]　[设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．

则有x＝1和x＝2时，函数的值均为非正数，即解得m≤－5.]

7．不等式≥2的解集为________．

∪　[由≥2可得，即

所以x∈∪.]

8．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

[3,5]　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]

三、解答题

9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式．

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内．

[解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)．

整理得，y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．

(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，

必须有：

即

∴0<x<，所以投入成本增加的比例应在范围内．

1．下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

A　[法一：取x＝－2，知符合x<<x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D.

法二：由题知，不等式等价于·<0，即<0，从而<0，解得x<－1，选A.]

2．(多选题)在R上对任意x，y＝总有意义，则实数k的可能取值为(　　)

A．0　　 　 B．1　　 　 　

C．2　　 　 D．3

AB　[由题意知kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立．当k＝0时满足条件．当k≠0时

∴0<k≤1.综上0≤k≤1.]

3．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．

(－∞，－3]　[设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，

∴该函数在　[0,1]上y随着x的增大而减小，

∴当x＝1时，函数取得最小值－3，

∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3.]

4．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a－b＝________.关于x的不等式>0的解集为________．

0　(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[因为关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且＝1即a＝b.所以a－b＝0.所以关于x的不等式>0，可化为>0.此不等式等价于(x＋1)(x－2)>0.即x<－1或x>2.故原不等式的解集为

(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]

某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

[解]　(1)设下调后的电价为x元/Kw·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为

y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.