高中数学第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案设计

【新教材】1.5 全称量词与存在量词

学案（人教A版）

1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.

重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.

一、 预习导入

阅读课本24-29页，填写。

1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∀”表示.

(2)含有全称量词的命题,叫做_____________.

(3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:_____________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.

2.存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____________,并用符号“∃”表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做_____________.

(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:_____________,读作“存在M中的元素,使p()成立”.

(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.

3.全称命题与特称命题的否定

4.点拨：

（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.

（2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.

（3）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.

（4）全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.

1.给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为(　　)

A.0      B.1     C.2     D.3

2.给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sin x|≤1.其中特称命题的个数是 (　　)

A.0     B.1     C.2     D.3

3.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(　　)

A.存在一个三角形的内角和等于180°

B.所有三角形的内角和都等于180°

C.所有三角形的内角和都不等于180°

D.很多三角形的内角和不等于180°

4.命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是________.　

题型一    全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1  判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:

(1)负数没有对数;

(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;

(3)∀x∈{x|x是无理数},是无理数;

(4) 是无理数}，是无理数.

解题技巧：（判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法）

(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.

(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.

(3)全称量词命题有时会省略全称量词,但存在量词命题的量词一般不能省略.

跟踪训练一

1.下列命题中,是全称量词命题的是_____,是存在量词命题的是_______.(填序号) 

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.

题型二   全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2　 判断下列命题的真假

1.所有的素数都是奇数；

2.

3.有一个实数   ，使

4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。

解题技巧：(全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧)

(1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词 命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.

(2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.

跟踪训练二

2．给出下列命题:①有一个实数x,使tan x无意义;②∀x∈R,3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2   C.3     D.0

题型三    全称量词命题与存在量词命题的否定

例3 　写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)有些质数是奇数;

(2)菱形的对角线互相垂直;

(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.

解题技巧：（含有一个量词的命题的否定方法）

(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.

(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.

跟踪训练三

3．写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;

(2)q:所有的正方形都是矩形;

(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;

(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.

1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为(　　)

A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(－1,1) D．(－1,1]

4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．

5．下列命题是真命题的有________．

(1)∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；

(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；

(3)∀x∈R，|x＋1|＞0.

6．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)非负数的平方是正数．

(2)有的四边形没有外接圆．

7．若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，求a的取值范围？

答案

小试牛刀

1．C    2．B    3．B

4.∃∈Z,4 -1不是奇数

自主探究

例1

【答案】(1)和(3)为全称量词命题;(2)和(4)为存在量词命题.

跟踪训练一

【答案】①②③       　④

例2　

【答案】真命题：2,4        假命题：1,3

跟踪训练二

【答案】 B    

例3 　

【答案】见解析

【解析】(1)“有些质数是奇数”是存在量词命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题.

（2）“菱形的对角线互相垂直”是全称量词命题,其否定为“有的菱形的对角线不垂直”,它是假命题.

（3）是存在量词命题，其否定为，它是真命题。

(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称量词命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题.

跟踪训练三

【答案】见解析

【解析】(1) p:∃x∈R,x2-x+<0.

∵∀x∈R,x2-x+≥0恒成立,∴p是假命题.

(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.

(3) r:∀x∈R,x2+3x+7>0.

∵∀x∈R,x2+3x+7=>0恒成立,∴r是真命题.

(4) s:∀x∈R,x3+1≠0.

∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.

当堂检测 

1-3．CDA

4．所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0

5．(1)(2)

6．(1)命题的否定：

“存在一个非负数的平方不是正数．”

因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．

(2)命题的否定：

“所有四边形都有外接圆．”

因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.

7．【答案】见解析

【解析】“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，

当a＝0时，－2≤0.符合题意．

当a≠0时，要满足∀x∈R，ax2－ax－2≤0，

需有即解得－8≤a<0，

综上，a的取值范围是[－8,0]．