高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案

函数的基本性质——单调性与最大(小)值

【教学目标】

1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思

2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间

3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性

【教学重难点】

教学重点：函数的单调性的概念。

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性

【教学过程】

一、复习引入。

1．复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象。的图象如图1，的图象如图2．

2．引入：从函数的图象（图1）看到：

图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+）上取值时，随着的增大，相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+），得到=，=，那么当＜时，有＜。

这时我们就说函数==在[0，+）上是增函数。图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（－，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（－，0），得到=，=，那么当＜时，有>。

这时我们就说函数==在（－，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。

二、讲解新课。

1．增函数与减函数。

定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，（1）若当＜时，都有＜，则说在这个区间上是增函数（如图3）；（2）若当＜时，都有>，则说在这个区间上是减函数（如图4）。

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数（图1），当∈[0，+）时是增函数，当∈（－，0）时是减函数。

2．单调性与单调区间。

若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；

（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；

（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“＜或>，”改为“或，”即可；

（4）定义的内涵与外延：

内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。

三、讲解例题。

例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。

解：函数的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

例2：证明函数在R上是增函数。

证明：设是R上的任意两个实数，且＜，则

－=（3+2）－（3+2）=3（－），

由＜x，得－＜0，于是－＜0，即＜。

∴在R上是增函数。

例3：证明函数在（0，+）上是减函数。

证明：设，是（0，+）上的任意两个实数，且＜，

则－=－=，

由，∈（0，+），得>0，

又由＜，得－>0，于是－>0，即>

∴在（0，+）上是减函数。

例4．讨论函数在（－2，2）内的单调性。

解：∵，对称轴

∴若，则在（－2，2）内是增函数；

若则在（－2，a）内是减函数，在[a，2]内是增函数

若，则在（－2，2）内是减函数。

四、练习。

的单调区间有[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]；在区间[－2，－1]，[0，1]上是增函数，在区间[－1，0]，[1，2]上是减函数。

的单调区间有[－，－]，[－，]，[，]；在区间[－，－]，[，]上是减函数，在区间[－，]上是增函数。

说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明。

判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

解：设，∈R，且＜，

∵－=（－3+2）－（－3+2）=3（－），

又＜，∴－>0，即>。

∴在R上是减函数。

判断函数=在（－，0）上是增函数还是减函数并证明你的结论。

解：设，∈（－，0），且＜，

∵－=－==，

由，∈（－，0），得>0，

又由＜，得－>0，于是－>0，即>。

∴=在（0，+）上是减函数。

能否说函数=在（－，+）上是减函数？

答：不能。因为=0不属于=的定义域。

说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

（1）判断函数在R上的单调性，并说明理由。

（2）4．

解：（1）设，∈R，且＜，

则－=（k+b）－（k+b）=k（－）。

若k>0，又＜，∴－＜0，即＜。

∴在R上是增函数。

若k＜0，又＜，∴－>0，即>。

∴在R上是减函数。

（2）设，∈（0，+），且＜，

∵－=（+1）－（+1）=－=（+）（－）

∵0＜＜，∴+>0，－＜0，

∴－＜0，即＜，

∴=+1在（0，+）上是增函数。

五、小结。

1．讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；

2．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：（1）设，是给定区间内的任意两个值，且＜；（2）作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断－的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据－的符号确定其增减性。

六、作业布置。

补充：（1）=是以（，）为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线（如图）；它的单调区间是（－，]与[，+）；它在（－，]上是减函数，在[，+）上是增函数。

证明：设＜，则

－=－－5（－）

=（+－5）（－）

∵＜，∴+＜5，－＜0，

∴－>0，即>。

∴=－5+6在（－，]上是减函数。

类似地，可以证明在[，+）上是增函数。

（2）=－+9的图象是以（0，9）为顶点、轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是（－，0]与[0，+），它在（－，0]上是增函数，在[0，+）上是减函数。

证明：设＜0，则－=－+=（+）（－）

∵＜0，∴+＜0，－>0，

∴－＜0，即＜

∴=9－在（－，0]上是增函数。

类似地，可以证明在[0，+）上是减函数。