高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念背景图课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念背景图课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了必备知识·素养奠基，前一项，同一个，a+b，an+1-an，a1+n-1d，关键能力·素养形成，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列的定义(1)条件:①从第__项起.②每一项与它的_______的差都等于_______常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.
【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:__叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=____.
【思考】等式“2A=a+b”有哪些等价形式?提示:2A=a+b⇔A-a=b-A⇔A= .　
3.等差数列的通项公式
【思考】等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.(　　)(2)常数列也是等差数列.(　　)(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.(　　)(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.(　　)
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.1, C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0【解析】选D.因为 - ≠ - ,故排除A;因为 -1≠ - ,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为(　　)A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
4. +1与 -1的等差中项是(　　)A.1B.-1C. D.±1【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=
类型一　等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=________. 2.已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N*),bn= (n∈N*).求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为 =某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,所以数列{an}是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-1
2.方法一:因为 所以 = +3,所以 - =3,又因为bn= (n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1= = .所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
方法二:因为bn= ,且an+1= ,所以bn+1= = = +3=bn+3,所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1= = .所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
【素养·探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1= ”改为“a1= ,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其他条件不变,如何解答?
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),所以 =1(n≥2).又因为bn= ,所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1= =2.所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.
【类题·通】定义法判定数列{an}是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【习练·破】若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
【加练·固】1.以下选项中构不成等差数列的是(　　)A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cs 0,cs 1,cs 2,cs 3D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.
类型二　等差中项的应用【典例】1.已知a= ,b= ,则a,b的等差中项为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=(　　)A.2B. C.1D. 3.已知 , , 成等差数列,证明 , , 成等差数列.
【思维·引】1.a,b的等差中项为 (a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【解析】1.选A.a,b的等差中项为 == .2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.
3.因为 成等差数列,所以 ,化简得2ac=b(a+c),又 = = = = = =2· ,所以 , , 成等差数列.
【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b= (或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.
【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m【习练·破】1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则 等于(　　)A. B. C. D. 【解析】选C. 所以a= ,b= x.所以 .
2.已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知 成等差数列,可得 ,所以 ,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
【加练·固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.
【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
类型三　等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.nB.3n+11C.n+4D.n+32.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列 为等差数列,则an=________. 3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?
【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求 ,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.
【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x = n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以 , = ,又数列 为等差数列,所以其公差d= ,所以 = +(n-1)d= (n-1)= ,所以an= .答案:
3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,得 解得 所以an= + (n-1)= n+3.(2)由an= n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an= n+3=85,得n= ∉N*,故85不是数列中的项.
【内化·悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.
【类题·通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
【习练·破】1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.672B.673C.674D.675【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x= ,所以数列{an}的公差d=(1-x)-x= ,所以a2 022=a1+(2 022-1)×d= =674.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________. 【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.答案:46
【加练·固】1.2 000是等差数列4,6,8,…的(　　)A.第998项　　　　B.第999项C.第1 001项D.第1 000项2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________. 3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.
【解析】1.选B. 因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)×2,即2 000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有 即 解得a1= -2,d=3.答案:-2　3
3.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-4×20=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.已知2,b的等差中项为5,则b为(　　)A. B.6C.8D.10【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以 =5,所以2+b=10,所以b=8.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的(　　)A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an=________. 【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N*),即an+1-an=-1,所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n
【新情境·新思维】等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d= .所以{an}的通项公式为an=