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所属成套资源：人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 课件 （全）
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数学选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念教课内容课件ppt
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这是一份数学选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念教课内容课件ppt，共43页。PPT课件主要包含了数列的递推公式，必备知识·素养奠基，相邻两项，a1+a2++an，关键能力·素养形成，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:
2.数列的前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和.记作Sn.即Sn= ___________.
【思考】数列{an}的通项公式和其前n项和Sn的关系是什么?提示:an=
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)递推公式不能用来表示数列.( )(2)所有的数列都有递推公式.( )(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.( )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,… 的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为( ) A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0, =2(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”). 【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N*),得an<0(n∈N*).又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.答案:递减
类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),那么a4的值为( ) A.4B.8C.15D.312.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________. 3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,an+1= (n∈N*);(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N*).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= = ,所以an= .(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【习练·破】设数列{an}满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5=1+ = .
类型二 由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln =ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].所以an=2+ln n(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.
【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2)”,求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+ (n≥2),所以an-an-1= = ,所以a1=1,a2-a1= ,a3-a2= ,a4-a3= ,…an-an-1= .
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+( - )+( - )+( - )+…+( - )= - +1.当n=1时a1=1也适合上式,所以an= - +1.
角度2 累乘法【典例】设数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为 =f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an= an-1(n≥2),所以 ,an= × × ×…× × ×a1= ×…× ×1= .又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an= .
【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当 =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an= · · ·…· ·a1累乘来求通项an.
【习练·破】已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以 = ,所以 ·…· = · · ·…· · =所以 ,所以an= ,当n=1时符合上式,所以an= ,n∈N*.
【加练·固】若a1=2,an+1= an,求该数列{an}的通项公式.【解析】由an+1= an,可得 = ,则an= ·…· ·a1= · · ·…· ·2= ,n=1时,a1=2也满足上式,所以an= .
类型三 数列相关概念的应用角度1 Sn与an的关系【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N*).
【素养·探】本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以an= (n∈N*).
角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1) (x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N*).(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1) .所以an+1-an=(n+2) -(n+1) = ,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>….所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10× .
【内化·悟】数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】1.关于Sn与an的关系数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an= 求通项公式时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1
【习练·破】1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是( ) A.107B.108C.108 D.109【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2 +108 ,由于n∈N*,故当n取距离 最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________. 【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,答案:7
【加练·固】数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得11.符合递推关系式an= an-1的数列是( ) A.1,2,3,4,…B.1, ,2,2 ,…C. ,2, ,2,…D.0, ,2,2 ,…【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的 倍,符合递推公式an= an-1.
2.已知数列{an}的通项公式为an= 则数列{an}为( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an= 所以n≥2时,an-an-1=2+ <0,所以an
4.已知数列{an}中,a1=2,an=- (n≥2),则a2 020=________. 【解析】因为a2=- a3=- =2,a4=- =a2,所以{an}的周期为2,所以a2 020=a2=- .答案:-
【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足( )A.an+1=4an-3nB.an+1=4an-1C.an+1=2an+1D.an+1=2an+n
【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:
2.数列的前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和.记作Sn.即Sn= ___________.
【思考】数列{an}的通项公式和其前n项和Sn的关系是什么?提示:an=
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)递推公式不能用来表示数列.( )(2)所有的数列都有递推公式.( )(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.( )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,… 的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为( ) A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0, =2(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”). 【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N*),得an<0(n∈N*).又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.答案:递减
类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),那么a4的值为( ) A.4B.8C.15D.312.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________. 3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,an+1= (n∈N*);(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N*).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= = ,所以an= .(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【习练·破】设数列{an}满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5=1+ = .
类型二 由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln =ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].所以an=2+ln n(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.
【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2)”,求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+ (n≥2),所以an-an-1= = ,所以a1=1,a2-a1= ,a3-a2= ,a4-a3= ,…an-an-1= .
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+( - )+( - )+( - )+…+( - )= - +1.当n=1时a1=1也适合上式,所以an= - +1.
角度2 累乘法【典例】设数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为 =f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an= an-1(n≥2),所以 ,an= × × ×…× × ×a1= ×…× ×1= .又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an= .
【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当 =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an= · · ·…· ·a1累乘来求通项an.
【习练·破】已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以 = ,所以 ·…· = · · ·…· · =所以 ,所以an= ,当n=1时符合上式,所以an= ,n∈N*.
【加练·固】若a1=2,an+1= an,求该数列{an}的通项公式.【解析】由an+1= an,可得 = ,则an= ·…· ·a1= · · ·…· ·2= ,n=1时,a1=2也满足上式,所以an= .
类型三 数列相关概念的应用角度1 Sn与an的关系【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N*).
【素养·探】本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以an= (n∈N*).
角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1) (x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N*).(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1) .所以an+1-an=(n+2) -(n+1) = ,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10× .
【内化·悟】数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】1.关于Sn与an的关系数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an= 求通项公式时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1
【习练·破】1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是( ) A.107B.108C.108 D.109【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2 +108 ,由于n∈N*,故当n取距离 最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________. 【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,答案:7
【加练·固】数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1
2.已知数列{an}的通项公式为an= 则数列{an}为( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an= 所以n≥2时,an-an-1=2+ <0,所以an
4.已知数列{an}中,a1=2,an=- (n≥2),则a2 020=________. 【解析】因为a2=- a3=- =2,a4=- =a2,所以{an}的周期为2,所以a2 020=a2=- .答案:-
【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足( )A.an+1=4an-3nB.an+1=4an-1C.an+1=2an+1D.an+1=2an+n
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