第二十六章反比例函数数学活动导学案(人教版九下)
展开数学活动 ——利用双曲线探索数量关系 一、导学 1.活动导入 问题1:矩形的面积一定时,矩形的长和宽成什么关系? 问题2:如果把矩形的一个顶点固定,拖动这个固定顶点的对角顶点,拖动时必须保证矩形的面积不变,猜猜看,这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢? 2.活动目标 (1)通过活动感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系. (2)通过活动建立反比例函数模型,解释杠杆平衡原理. 3.活动重、难点 重点:两个活动. 难点:第二个活动. 二、活动过程 活动1探索矩形顶点的运动轨迹 1.活动指导 (1)活动内容:教材P19活动1:探索矩形顶点的运动轨迹. (2)活动时间:10分钟. (3)活动方法:完成活动参考提纲. (4)活动参考提纲: ①下表是10个面积相等的矩形的长与宽,请补齐表格. ②设∠A为这10个矩形的公共角,在下面的坐标系中画出这10个矩形(假设每个小正方形的边长都是1 cm,矩形的长对应横坐标,宽对应纵坐标),然后取∠A的10个对角的顶点,并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗?为什么?(是,它是双曲线的一支.) ③如图,过y=的图象上任意一点P作两坐标轴的垂线段,则图中矩形的面积S是定值吗?是多少?(是,) 第③题图 第④题图 ④如图,过y=的图象上任意一点P作某一坐标轴的垂线段,则图中三角形的面积为. 2.自学:学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 (1)师助生: ①明了学情:了解学生是否会画图. ②差异指导:把全班学生分成4个组,依次以图中网格的四个角处的格点为∠A的顶点,分别画图. (2)生助生:小组内互相交流. 4.强化 (1)把面积为定值的矩形的一个顶点固定,拖动这个固定顶点的对角顶点,这个对角顶点的运动轨迹是反比例函数图象的一支. (2)反比例函数的k的几何意义. 活动2探索力与力到支点距离的关系 1.活动指导 (1)活动内容:教材P19活动2:探索力与力到支点距离的关系. (2)活动时间:10分钟. (3)活动方法:完成活动参考提纲. (4)活动参考提纲: ①如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧距离中点O 25 cm处挂一个重9.8 N的物体,在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉,使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧测力计的示数F(单位:N)有什么变化,并填写下表: ②以L的数值为横坐标,以F的数值为纵坐标建立直角坐标系,在坐标系内描出以上表中的数对为坐标的各点,用平滑曲线连接这些点; ③这条曲线是反比例函数图象的一支吗?为什么?点(50,4.9)在这条曲线上吗? 是,因为它是双曲线的一支,点(50,4.9)在这条曲线上. 2.自学:学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 (1)师助生: ①明了学情:看学生是否能顺利完成实验,关注学生处理实验误差的能力. ②差异指导:学生4人一组分组实验收集数据,然后各自完成后续活动任务. (2)生助生:小组内互相交流. 4.强化:弹簧秤的示数F与它到点O的距离L成反比. 三、评价 1.学生学习的自我评价:这节课你有什么收获?有哪些不足? 2.教师对学生的评价: (1)表现性评价:从学生回答问题,动手操作能力等方面进行评价. (2)纸笔评价:课堂评价检测. 3.教师的自我评价(教学反思). 本节课通过数学活动,利用双曲线来探索数量关系.在探索矩形顶点的运动轨迹这一活动中,我们通过描点、作图、算面积来感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系.在探索力与力到支点距离的关系活动中,我们通过建立反比例函数模型来解释杠杆平衡原理. 整个活动过程应充分发挥学生的主动性,对活动过程中存在问题的学生及时给予帮助,增强与学生的互动与交流. 一、基础巩固(60分) 1.(10分)如图是反比例函数y=在第二象限内的图象,若图中的矩形OABC的面积为2,则k=-2. 第1题图 第2题图 2.(10分)如图,若点A在反比例函数y=(k≠0)的图象上,AM⊥x轴于点M,△AMO的面积为3,则k=-6. 3.(20分)如图:李老师家有个边长为4米的正方形院子AOBC,他想在院子里修建一个矩形水池DOEF,水池一面DO靠墙AO,另一面OE靠墙OB,设OD=x(米),OE=y(米). (1)若矩形水池的面积为2平方米,则y与x的函数关系式为:,在图中画出能建水池的F点的位置,并用l1标记; (2)若周长为6米(包含两边靠墙的地方),则y与x的关系式为y=-x+3,在图中画出满足条件的水池一角F的所有位置,并用l2标记; (3)有没有同时满足条件(1)(2)的水池?若有请帮忙找出这一点,并在图中画出来;若没有,请说明理由. 解:存在两点M(1,2)和N(2,1)同时满足条件(1)(2). 4.(20分)如图1,张老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物,在右边的活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡,改变活动托盘B与点O的距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.实验数据记录如下表: (1)把上表中(x,y)的各组对应值作为点的坐标,描在如图2所示的坐标系中,并用平滑的曲线将这些点连接起来; (2)观察所画的图象,猜测y与x之间的函数关系; (3)当砝码的质量为50 g时,活动托盘B与点O的距离是多少? (4)当活动托盘B往右移动时,应往活动托盘B中添加还是减少砝码? 解:(1)如图;(2);(3)当y=50 g时,由得x==6(cm); (4)减少砝码. 二、综合应用(20分) 5.(20分)如图1,小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆,改变弹簧测力计与点O的距离x(单位:cm),观察弹簧测力计的示数y(单位:N)的变化情况,实验数据记录如下: 把上表中(x,y)的各组对应值作为点的坐标,在图2所示的坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测y与x之间的函数关系,并求出函数关系式; (2)当弹簧测力计的示数为24N时,弹簧测力计与点O的距离是多少厘米?随着弹簧测力计与O点的距离不断减小,弹簧测力计的示数将发生怎样的变化? 解:(1)y与x成反比例函数关系,y=300x. (2)当y=24N时,由y=得x==12.5(cm),弹簧测力计的示数不断变大. 三、拓展延伸(20分) 6.(20分)2010年世博会期间,上海黄浦江上出现一艘白色的豪华游船在水中徜徉,高高扬起的风帆由太阳能电池板拼装而成,天气晴好之时,航行所用的动力可完全使用太阳能.图1是游船的某一部件的设计图纸.(其中∠A,∠B,∠C是直角,DE是双曲线的一部分,AE的长为30 cm,AB的长为40 cm,BC的长为60 cm) (1)请你求出DC的长; (2)如图2所示,有一块矩形材料ABCD,其中AB=40 cm、AD=60 cm,在距AD边15 cm、距CD边10 cm处有一小孔,请你判断此材料是否可用,请说明理由. 解:(1)以点B为坐标原点建立直角坐标系,如图所示,则E点坐标为(30,40),∴曲线DE的关系式为,∵D点的横坐标为60,∴,∴DC的长为20 cm; (2)可用,小孔坐标为(50,25),所处位置在图1图形ABCDE之外.