物理人教版 (2019)第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就导学案

7.3  万有引力理论的成就

【学习目标】

1.   了解重力等于万有引力的条件.
2.   了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
3.   会用万有引力定律计算天体的质量.
4.   会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．

【知识要点】

一、“称量”地球质量

1．天体表面物体受引力问题

①不考虑自转

        M＝

②考虑自转

二、计算天体质量

1．计算天体质量的方法

计算卫星的质量：由＝mr，得M＝.

2．天体密度的计算方法

(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．

(2)  ①若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则ρ＝.

②近地卫星，则有R＝r，此时ρ＝.

三、天体运动的分析与计算

1．（1）万有引力提供向心力G＝ma＝m＝mω2r＝mr

(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力，mg＝G，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．

【题型分类】

题型一、天体质量和密度的计算

例1　一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】　AC

【解析】　根据G＝mr得，M＝，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，选项D错误.

例2　若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)

(1)月球表面的自由落体加速度大小g月.

(2)月球的质量M.

(3)月球的密度.

【答案】　(1)　(2)　(3)

【解析】　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动h＝g月t2，月球表面的自由落体加速度大小g月＝.

(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝.

(3)月球的密度ρ＝＝＝.

【同类练习】

1.近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)(　　)

A．ρ＝kT   B．ρ＝

C．ρ＝kT2   D．ρ＝

【答案】　D

【解析】　根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，D正确。

2.如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　)

A．M＝，ρ＝                 B．M＝，ρ＝

C．M＝，ρ＝              D．M＝，ρ＝

【答案】D

【解析】：由G＝m(R＋h)，又T＝，

得：M＝由ρ＝，V＝πR3得：ρ＝，故选项D正确。

题型二、天体运动的分析与计算

例3　质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　　)

A．线速度v＝   B．角速度ω＝

C．运行周期T＝2π  D．向心加速度a＝

解析　探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B错误，C正确．

答案　AC

例4　据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”．该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　)

A．轨道半径之比约为

B．轨道半径之比约为

C．向心加速度之比约为

D．向心加速度之比约为

解析　由公式G＝m()2r，可得通式r＝ ，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则＝ ＝ ，从而判断A错，B对；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝ ＝，所以C、D皆错．

答案　B

【同类练习】

1.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，引力常量为G，则根据以上数据可解得的物理量有(　　)

A．土星线速度的大小  B．土星加速度的大小

C．土星的质量   D．太阳的质量

解析：选ABD　由v＝知选项A正确；由a＝＝r知选项B正确；由G＝mr知M＝，选项C错误，D正确。

2.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)

A．太阳对各小行星的引力相同

B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值

解析　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝mr，可得T＝，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。

答案　C

【成果巩固训练】

1.火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)

A.0.2g   B.0.4g

C.2.5g   D.5g

【答案】　B

【解析】　在星球表面有mg＝，设火星表面的重力加速度为g火，则 ＝＝0.4，故B正确.

2.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是(　　)

A.天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的

B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差

C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的

D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的

【答案】　B

【解析】　天王星是通过观察发现的，选项A错误，B正确；海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的，选项C、D错误.

3.土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)

A．9.0×1016 kg   B．6.4×1017 kg

C．9.0×1025 kg   D．6.4×1026 kg

【答案】　D

【解析】土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r为轨道半径，大小为1.4×105 km，T为绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。

4.(2019·昆明市三中高一下学期月考)若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)

A.            B.           C.          D.

【答案】　A

【解析】　由G＝mr得M∝，则＝·＝，A正确。

5.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为(　　)

A.0.5                B.2             C.3.2            D.4

【答案】　B

【解析】　若地球质量为M0，则“宜居”行星质量为M＝6.4M0，由mg＝G得＝·＝，所以＝＝＝2，选项B正确.

6.一物体从某行星表面某高度处自由下落。从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，不计阻力。则根据h－t图像可以计算出(　　)

A．行星的质量                                  B．行星的半径

C．行星表面重力加速度的大小                    D．物体受到行星引力的大小

【答案】C

【解析】：根据图像可得物体下落25 m，用的总时间为2.5 s，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值，不能求出行星的质量和半径，A项和B项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D项错误。

7.科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(　　)

A．这颗行星的公转周期与地球相等        B．这颗行星的自转周期与地球相等

C．这颗行星质量等于地球的质量          D．这颗行星的密度等于地球的密度

【答案】　A

【解析】　由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面。故A正确。行星的自转周期、质量和密度都只与行星本身有关，而与绕中心天体如何运行无关，B、C、D错误。

8.进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”。同学们也对月球有了更多的关注。

(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点。已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月。

【答案】：(1)　(2)

【解析】：(1)根据万有引力定律和向心力公式

G＝M月R月()2①

mg＝G②

联立①②得

R月＝。

(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：

v0＝③

mg月＝G④

联立③④得　M月＝。

9.某星球“一天”的时间T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？

【答案】：1.9 h,　

【解析】：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处时重力为G2。

在“赤道”上G－G1＝mω2R ①

在“两极”处G＝G2 ②

依题意得G2－G1＝0.1G2 ③

设该星球自转的角速度增大到ωx时，赤道上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球表面与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，则有G＝mωR              ④

又ωx＝，ω＝ ⑤

由①～⑤得Tx＝ h≈1.9 h，

即赤道上的物体自动飘起来时，这时星球的“一天”是1.9 h。

10.假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。求：

(1)地球的密度；

(2)地球自转的角速度增大到原来的多少倍，地球将会瓦解。

【答案】：(1)　(2)倍

【解析】：(1)物体在地球两极时，引力等于重力，则有mg0＝；物体在赤道上时，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有－mg＝mR，

综上可得g0－g＝R，

故有R＝，M＝，

ρ＝＝

(2)设地球刚要瓦解时的周期为T′，由分析可得

＝mR，g0＝，

联立解得g0＝R，

又因为g0－g＝R，则＝。

解得＝，故自转角速度增大到原来的倍时地球将会瓦解。