高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就导学案及答案

3.万有引力理论的成就

知识结构导图

核心素养目标

物理观念：球体体积、密度公式、万有引力定律和向心力公式．

科学思维：(1)万有引力提供向心力．

(2)计算天体的质量和密度的方法．

科学探究：探究求天体质量的方法及探索未知天体．

科学态度与责任：万有引力定律在天体问题中的应用．

知识点一　“称量”地球的质量

阅读教材第55页“‘称量’地球的质量”部分．

1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．

2．关系式：mg＝________.

3．结果：m地＝________，只要知道，g、R、G的值，就可计算出地球的质量．

图解：明确各个物理量

知识点二　计算天体的质量

阅读教材第56～57页“计算天体的质量”部分．

设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，可测出该行星绕太阳做匀速圆周运动的周期T.

1．思路：行星与太阳间的万有引力充当向心力．

2．关系式：G＝________.

3．结论：m太＝________只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．

4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量m行，公式是m行＝________.

知识点三　发现未知天体、预言哈雷彗星回归

阅读教材第57～58页“发现未知天体、预言哈雷彗星回归”部分．

1.已发现天体的轨道推算

18世纪，人们观测到太阳系第七颗行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差．

2．发现未知天体

根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如________就是这样发现的．

3．哈雷彗星的回归

哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682年三次出现的________，实际上是同一颗彗星的三次________，它出现的周期约为76年．并预言它将于1758年底或1759年初再次回归.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右．

　图解

　【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．

(1)在不考虑地球自转的影响时，地面上的物体的重力等于地球对该物体的万有引力．(　　)

(2)知道引力常量G、地球的公转周期和轨道半径，就可以求出太阳质量．(　　)

(3)知道引力常量G、地球的公转周期和轨道半径，就可以求出地球质量．(　　)

(4)知道引力常量G、地球的半径和地球表面的重力加速度，就可以求出地球质量．(　　)

(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(　　)

(6)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量．(　　)

(7)被称为“笔尖下发现的行星”的是海王星．(　　)

要点一　天体质量的计算

探究点1　若已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．

探究点2　如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？

天体质量的计算方法

若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，所以有M＝，只要测出G，便可“称量”地球的质量．

题型一　利用天体表面的重力加速度计算质量

【例1】　“嫦娥四号”在人类历史上首次实现在月球背面软着陆和勘测．假定测得月球表面物体自由落体加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转周期T，引力常量为G.根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了．月球质量M为(　　)

A．M＝　　　　B．M＝　　　C．M＝　　　D．M＝

题型二　利用环绕法计算质量

【例2】　(多选)利用引力常量G和下列某一组数据，能计算出地球质量的是(　　)

A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

点拨：抓住要点，建立物理模型，利用环绕天体的相关物理量可计算出中心天体的质量，或由中心天体质量、环绕天体的道半径、线速度、角速度、周期中的两个物理量，可算出其他物理量；还要注意环绕天体做近地运动时，中心天体半径和道半径的关系．

练1　

对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　)

A.　　　　　　　　　　　　　　B.

C.  D.

教你解决问题

要点二　天体密度的计算

1．利用天体表面的重力加速度求天体密度

由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝.

2．利用天体的卫星求天体密度

若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝.

【例3】　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3　　　　　　　B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3

点睛：

(1)计算天体质量、密度的方法不仅适用于计算地球和太阳的质量、密度，也适用于其他星体．

(2)注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的道半径，h指行星(或卫星)距离中心天体表面的高度，r＝R＋h.

练2　若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.   D.

练3　

2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航空工程进入了一个新高度，图示是“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器．已知地球和月球的半径之比为4:1，其表面的重力加速度之比为6:1.则地球和月球的密度之比为(　　)

A．2:3  B．3:2

C．4:1  D．6:1

要点三　天体运动的分析与计算

如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．

(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？

(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？

1.一个模型

天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．

2．两条思路

(1)万有引力提供天体运动的向心力

G＝m＝mr＝mω2r.

(2)黄金代换

在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出Gm天＝gR2.

　图解

r火>r地，

v火<v地，ω火<ω地，

a火<a地，T火>T地．

越高越慢

3．记住两组公式

(1)G＝m＝mω2r＝mr＝man

(2)mg＝(g为星体表面处的重力加速度)

即GM＝R2g，该公式通常被称黄金代换．

4．四个重要结论

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．

(1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小．

(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小．

(3)由G＝m2r得T＝2π ，r越大，天体的T越大．

(4)由G＝ma得a＝，r越大，天体的a越小．

点睛：解决天体运动问题的关键

①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动．

②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律．

③利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题．

【例4】　如图所示，是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知(　　)

A．火星的公转周期小于地球的公转周期

B．水星的公转速度小于地球的公转速度

C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度

D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度

练4　火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)

A．轨道周长之比为2:3

B．线速度大小之比为:

C．角速度大小之比为2:3

D．向心加速度大小之比为9:4

思考与讨论　(教材P56)已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011 m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？

提示：能．地球绕太阳的公转周期T≈365天＝365×24×3600 s.

根据＝mr得m太＝≈2.0×1030 kg

换用其他行星的相关数据进行估算，结果相近．因为m太＝，根据开普勒第三定律可知＝k，比值k是一个对所有行星都相同的常量，所以结果是十分相近的．

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的

B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的

C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用

D．以上说法都不对

2.

土星最大的卫星叫“泰坦”(如右图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)

A．5×1017 kg  B．5×1026 kg

C．7×1033 kg  D．4×1036 kg

3．(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t.若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出(　　)

A．月球到地球的距离  B．地球的质量

C．月球受地球的引力  D．月球的质量

4．(多选)澳大利亚科学家宣布，在离地球约14光年的“红矮星Wolf 1061”周围发现了三颗行星b、c、d，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视为圆，如图所示．已知引力常量为G.下列说法正确的是(　　)

A．可求出b、c的公转半径之比

B．可求出c、d的向心加速度之比

C．若已知c的公转半径，可求出“红矮星”的质量

D．若已知c的公转半径，可求出“红矮星”的密度

5．“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍．已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)

A.   B.

C.   D.

6．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有(　　)

A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍

B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

C．由F＝可知，甲的向心力是乙的

D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍

3．万有引力理论的成就基础导学·研读教材

知识点一

2．G　3.

知识点二

2．mr　3.　4.

知识点三

2．海王星

3．彗星　回归

思考辨析

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√

互动课堂·合作探究

要点一

探究点1　提示：根据mg＝G得m地＝，将相关数据代入可得m地≈6.0×1024 kg.

探究点2　提示：能．由G＝知m太＝.

【例1】　【解析】　在月球表面重力与万有引力相等，有G＝mg，可得月球质量M＝，故A错误，B正确；由题意知T为月球绕地球运动的周期，据此如果知道地月距离可以计算中心天体地球的质量，但不能求得环绕天体月球的质量，故C、D均错误．

【答案】　B

【例2】　【解析】　由于不考虑地球自转，设地球的质量为M、半径为R，则对于地球表面附近质量为m0的物体有G＝m0g，故可得M＝，A项正确；设人造卫星的质量为m1，人造卫星在地面附近绕地球运动的速度为v、周期为T，由万有引力提供人造卫星绕地球做圆周运动的向心力，有G＝m1，v＝，联立得M＝，B项正确；设月球质量为m2，绕地球运动的周期为T′、半径为r，由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G＝m22r，故可得M＝，C项正确；根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出中心天体太阳的质量，不能求出地球的质量，D项错误．

【答案】　ABC

练1　解析：由万有引力提供向心力有G＝mr，得r3＝，由题图可知，＝＝，所以地球的质量为M＝，故B正确，A、C、D错误．

答案：B

要点二

【例3】　【解析】　星体自转的最小周期发生在其赤道上的物体所受向心力正好全部由引力提供时，根据牛顿第二定律：G＝mR；又因为V＝πR3、ρ＝；联立可得ρ＝≈5×1015kg/m3，选项C正确．

【答案】　C

练2　解析：设星体半径为R，则其质量M＝πρR3；在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所受万有引力提供向心力，有G＝m··R，联立解得T＝ ，故A选项正确，B、C、D选项错误．

答案：A

练3　解析：在星球表面的物体，重力和万有引力相等，即G＝mg，则该星球的质量为M＝.因为该星球的体积为V＝πR3，则该星球的密度为ρ＝；所以地球和月球的密度之比＝·＝·＝，故选B.

答案：B

要点三

　提示：(1)由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的．

(2)无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉．

【例4】　【解析】　根据万有引力提供向心力有：＝m2r＝m＝mrω2＝ma，可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，故A错误；公转速度v＝，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，故B错误；公转角速度ω＝，木星的轨道半径大于地球，故其公转角速度小于地球，故C正确；向心加速度a＝，金星的轨道半径小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D错误．

【答案】　C

练4　解析：火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为:，B项错；角速度大小之比为2:3，C项对；向心加速度大小之比为4:9，D项错．

答案：C

随堂演练·达标检测

1．解析：海王星是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的．天王星是人们通过望远镜观察发现的．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道引起了人们的思考，推测天王星外面存在其他行星．综上所述，选项A、C正确．

答案：AC

2．解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有F＝G＝m2r，得土星的质量M＝，代入数据知M＝5×1026 kg，选项B正确．

答案：B

3．解析：根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，故A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝m2r可求出地球的质量M＝，故B正确；我们只能计算中心天体的质量，故D错误；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，故C错误．

答案：AB

4．解析：行星b、c的周期分别为5天、18天，均做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律＝k，可以求出轨道半径之比，A正确．行星c、d的周期分别为18天、67天，同上可以求出轨道半径之比，根据万有引力提供向心力，有G＝ma，解得a＝，故可以求出c、d的向心加速度之比，B正确．已知c的公转半径和周期，根据牛顿第二定律有G＝m，解得M＝，故可以求出“红矮星”的质量，但不知道“红矮星”的体积，无法求出“红矮星”的密度，C正确，D错误．

答案：ABC

5．解析：设月球质量为m、半径为r

则地球质量为Qm、半径R＝Pr

探测器绕月运动半径为Kr＝K·①

地球表面重力加速度大小为g，则＝m0g②

探测器绕月运动，由牛顿第二定律得＝m′③

由①②③式得v＝ ，故D正确．

答案：D

6．解析：两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2倍，选项D正确．

答案：CD