人教版 (2019)3 万有引力理论的成就练习

第七章　万有引力与宇宙航行

3　万有引力理论的成就

基础过关练

题组一　计算天体的质量

1.(2020吉林长春高一下模拟)2019年1月3日“嫦娥四号”在月球背面成功着陆,在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘测。假定测得月球表面的自由落体加速度g,已知月球半径R和月球绕地球运转周期T,引力常量为G,根据万有引力定律,就可以“称量”出月球质量了(忽略月球自转影响)。月球质量为(　　)

A.   B.        C.  D.

2.(2020北京丰台高一下期末)我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后,最终成功进入环月工作轨道。如图所示,卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a上运动,也可以在离月球比较远的圆轨道b上运动,卫星在这两个轨道上的运动均可视为匀速圆周运动。已知引力常量为G。若已知“嫦娥一号”的轨道半径r和在此轨道上运行的周期T,则可计算出月球的质量M,下列表达式正确的是(　　)

A.M=  B.M=

C.M=  D.M=

3.若地球绕太阳公转的周期及其公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转的周期和公转轨道半径分别为t和r,则太阳质量与地球质量之比为(　　)

A. B. C. D.

4.(2019山东潍坊高一下期末)(多选)根据给出的信息能算出地球质量的是(引力常量G已知)(　　)

A.已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r

B.已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

C.已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

D.已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r

5.(2020天津实验中学高二上期中,节选)2016年8月16日,我国科学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射,并进入预定圆轨道。已知“墨子号”卫星的质量为m,其运行轨道离地面的高度为h,绕地球运行的周期为T,地球半径为R,引力常量为G。求:

(1)“墨子号”卫星的向心力大小;

(2)地球的质量。

6.(2020河北石家庄二中高一下期末)宇航员在一星球表面附近高h处,以初速度v0竖直向上抛出一小球,经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,不计星球表面的气体阻力,则该星球表面的重力加速度和星球质量分别为多大?

题组二　计算天体的密度

7.(2020安徽合肥一中高三模拟)关于月球的形成,目前主要有“俘获说”“分离说”两种说法。若月球是从地球分离出去的,则地球与月球的密度应该大致相等。请选用下列某些条件求出地球与月球的密度之比,约为(　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

8.(2020天津一中高一下期末)某行星的卫星,在靠近行星表面的轨道上运动,已知引力常量为G,若要计算该行星的密度,只需测量出的一个物理量是(　　)

A.行星的半径   B.卫星的半径

C.卫星运行的线速度  D.卫星运行的周期

9.(2020陕西西安中学高一下期中)假设某星球可视为质量均匀分布的球体,已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为g1,在赤道的大小为g2,星球自转的周期为T,引力常量为G,则该星球的密度为(　　)

A.    B.·

C.·   D.·

10.2020年6月23日9时43分,我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五十五颗北斗导航卫星。假设该卫星在距离地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G,地球的体积为V=πR3,忽略地球自转的影响。求:

(1)地球的平均密度ρ;

(2)该人造卫星绕地球运动的周期T。

题组三　对未知天体的判断

11.(2020江苏扬州大桥高级中学高一下期中)(多选)下列说法正确的是(　　)

A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的

B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的

C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用

D.以上说法都不对

12.(2020江西南昌二中高一下月考)关于行星运动的规律,下列说法符合史实和事实的是(　　)

A.开普勒在大量数据研究的基础上,推导出了行星运动的规律

B.牛顿通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G

C.天王星的运动轨道是亚当斯和开普勒共同研究推算出来的,后人称天王星为“笔尖下发现的行星”

D.在地球表面可以发射一颗卫星,绕地球运行的周期小于84分钟

题组四　天体运动中相关物理量的分析与计算

13.(2020江苏苏州实验中学高一下月考)(多选)“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆,其运动周期为5.74年。关于“坦普尔一号”彗星,下列说法中正确的是(　　)

A.彗星绕太阳运动的角速度不变

B.彗星在近日点处的线速度大于在远日点处的线速度

C.彗星在近日点处的加速度大于在远日点处的加速度

D.彗星在近日点处的线速度小于在远日点处的线速度

14.(2019湖北武汉第三中学高一下期中)(多选)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样星球就有一个最大自转速度,如果超出了该速度,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且质量均匀分布的星球的最小自转周期T,下列表达式中正确的是(　　)

A.T=2π   B.T=2π

C.T=   D.T=

15.(2019辽宁大连高二上期末)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,则(　　)

A.地球公转的周期大于火星公转的周期

B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度

C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度

D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度

16.(2020天津部分区高二上期末)(多选)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,实现了人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹。已知月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G。嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的(　　)

A.线速度为  B.角速度为

C.周期为2π  D.向心加速度为

能力提升练

题组一　天体的质量和密度的计算

1.(2020河南九师联盟高三联考,)某卫星绕地球做匀速圆周运动,t时间内这颗卫星运动的轨迹长为s,这段时间内卫星的运动方向改变了θ角,已知引力常量为G,由此可求得地球的质量为(　　)

A. B. C. D.

2.(2020山西朔州应县一中高一下月考,)宇航员乘飞船前往A星球,其中有一项任务是测该星球的密度。已知该星球的半径为R,引力常量为G。结合已知量,有同学为宇航员设计了以下几种测量方案,你认为不正确的是(不考虑星球自转的影响)(　　)

A.当飞船绕星球在任意高度运行时,测出飞船的运行周期T

B.当飞船绕星球在任意高度运行时,测出飞船的运行周期T和飞船到星球表面的距离h

C.当飞船靠近星球表面绕星球运行时,测出飞船的运行周期T

D.当飞船着陆后,宇航员测出该星球表面的重力加速度g

3.()2019年10月31日为“2019年国际暗物质日”,当天,中国锦屏实验室和英国伯毕实验室作为两个世界著名暗物质实验室首次进行了公开互动。假设某一行星绕恒星中心转动,行星转动周期的理论值与实际观测值之比=k(k>1)。科学家推测,在以两星球球心连线为半径的球体空间中均匀分布着暗物质,设恒星质量为M,据此推测,暗物质的质量为(　　)

A.k2M B.4k2M

C.(k2-1)M D.(4k2-1)M

4.(2020四川成都外国语学校高一下期末,)在星球M上,将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,其加速度a与弹簧的压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上,用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体,已知星球M的半径是星球N的3倍,求:

(1)Q和P的质量之比;

(2)星球M和星球N的密度之比。

题组二　天体运动中相关物理量的分析与计算

5.(2019河南郑州高二上期末,)(多选)一行星绕某恒星做匀速圆周运动,由天文观测可得,恒星的半径为R,行星的运行周期为T,线速度大小为v,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)

A.恒星的质量为

B.恒星的质量为

C.行星的轨道半径为

D.行星的向心加速度为

6.(2019广东深圳高二上期中,)“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成,自动完成月面样品采集,并从月球起飞返回地球。若已知月球半径为R,探测器在距月球表面高为R的圆轨道上飞行,周期为T,引力常量为G,下列说法正确的是(深度解析)

A.月球质量为

B.月球表面的重力加速度为

C.月球的密度为

D.月球表面的环绕速度为

题组三　天体运动中的“双星”模型

7.(2020天津南开中学高三月考,)银河系的恒星中有很多是双星。某双星系统由质量不相等的星体S1和S2构成,两星在相互的万有引力作用下绕两者连线上的某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2之间的距离为r,已知引力常量为G。可求出S2的质量为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

8.(2020江苏如皋中学高一下月考,)(多选)天文学家观测发现的双子星系统“开普勒—47”有一对互相围绕运行的恒星,其中一颗大恒星的质量为M,另一颗小恒星的质量只有大恒星质量的三分之一。已知引力常量为G,据此可知(　　)

A.大、小两颗恒星的转动周期之比为1∶3

B.大、小两颗恒星的转动角速度之比为1∶1

C.大、小两颗恒星的转动半径之比为3∶1

D.大、小两颗恒星的转动半径之比为1∶3

答案全解全析

基础过关练

1.B　忽略月球自转影响,物体在月球表面受到的重力等于万有引力,有mg=,得M=,故A错误,B正确;已知月球绕地球运动的周期T,中心天体是地球,求不出月球的质量,故C、D错误。

2.A　“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动,已知“嫦娥一号”的轨道半径r和在此轨道上运行的周期T,则G=mr,解得月球的质量为M=,A项正确。

3.A　无论是地球绕太阳公转还是月球绕地球公转,都是万有引力提供向心力,均有G=mr,可得M∝,所以=,选项A正确。

4.BC　已知月球绕地球运动的周期和地球的半径,而不知道月球绕地球运动的轨道半径,不能求出地球的质量,A不符合题意;已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径,有G=mω2r,可以求出地球的质量,B符合题意;已知月球绕地球运动的周期和轨道半径,有G=mr,可以求出地球的质量,C符合题意;已知地球绕太阳运动的周期和轨道半径,只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量,故D不符合题意。

5.答案　(1)m(R+h)　(2)

解析　(1)“墨子号”卫星的向心力大小Fn=m(R+h)。

(2)根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),解得地球的质量为M=。

6.答案　　

解析　设该星球表面的重力加速度为g,依题意有-h=v0t-gt2

解得g=

在星球表面,物体的重力等于万有引力,有mg=G

解得M==

7.B　根据物体在星球表面所受的重力等于万有引力,有mg=G,可得M=;由ρ===,推出地球与月球的密度之比为=,代入数据得=1.7≈2,故B正确。

8.D　根据密度公式可得ρ==①,已知行星的半径,不知道行星的质量,无法求出行星的密度,故A不符合题意;已知卫星的半径,无法求出行星的密度,故B不符合题意;已知卫星的运行速度,根据万有引力提供向心力,有G=m,解得M=,代入①式得ρ=,由于不知道行星的半径,故无法求出行星的密度,C不符合题意;已知卫星的运行周期,根据万有引力提供向心力,有G=mR,解得M=,代入①式得ρ=,故D符合题意。

9.C　在星球两极,物体所受重力等于万有引力,有mg1=G,由此可得星球质量为M=;在星球赤道处,物体所受万有引力与支持力的合力提供向心力,由牛顿第二定律有G-mg2=mR;又ρ==,联立解得星球密度ρ=·,故C正确。

10.答案　(1)　(2)2π

解析　(1)在地球表面附近,有G=mg

解得M=

又ρ=,V=πR3

得ρ=

(2)根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h)

解得T=2π

又知GM=gR2

所以T=2π。

11.AC　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道,然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的,天王星是人们通过望远镜观察发现的;由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,引起了人们的思考,推测天王星轨道以外存在其他行星,进而发现了海王星。故A、C正确,B、D错误。

12.A　开普勒在大量数据研究的基础上,推导出了行星运动的规律,A正确;卡文迪什通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G,B错误;英国的亚当斯和法国的勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出了海王星的轨道,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星,人们称海王星为“笔尖下发现的行星”,C错误;由地球对卫星的万有引力提供向心力,得卫星做圆周运动的周期T=,如果轨道半径取地球半径,可以得出卫星绕地球运行的最小周期为84 min,故D错误。

13.BC　根据开普勒第二定律,彗星绕太阳沿椭圆轨道运动时,彗星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,由此可知彗星在近日点附近的线速度和角速度均比在远日点附近时大,故A、D错误,B正确;根据万有引力提供向心力,有G=ma,解得a=,可知彗星离太阳越近,加速度越大,故C正确。

14.BC　当星球的自转周期小到一定值时,星球赤道处的物体对星球的压力为零,此时万有引力充当向心力,有=mR,解得T=2π,故B正确,A错误;又因星球的质量M=ρV=πρR3,可得T=,故C正确,D错误。

15.D　根据G=mr=m=mω2r=ma,可得公转周期T=2π,则地球公转的周期较小,A错误;公转的线速度v=,则地球公转的线速度较大,B错误;公转的加速度a=,则地球公转的加速度较大,C错误;公转的角速度ω=,则地球公转的角速度较大,D正确。

16.BC　根据万有引力提供向心力,有G=m,得线速度v=,故A错误;根据万有引力提供向心力,有G=mω2r,得角速度ω=,故B正确;根据万有引力提供向心力,有G=mr,得周期T=2π,故C正确;根据万有引力提供向心力,有G=ma,得向心加速度a=,故D错误。

能力提升练

1.C　由题可知,卫星的线速度v=,卫星的角速度ω=,卫星做圆周运动的半径r=,由G=mω2r=mωv,解得M=,选项C正确。

2.A　星球的质量M=ρV=ρπR3,飞船绕星球在任意高度运行时,万有引力提供向心力,有G=m·(R+h),联立解得ρ=,由上式可以判定,需测出飞船的运行周期T和飞船到星球表面的距离h,选项A错误,B正确;当飞船绕星球表面运行时,有h=0,则ρ=,故需测出飞船的运行周期T,选项C正确;飞船着陆后,在星球表面物体的重力等于万有引力,有mg=G,结合M=ρV=ρπR3,得ρ=,由上式可知,测出星球表面的重力加速度g,即可得到星球的密度,选项D正确。故选A。

3.C　设球体空间中均匀分布的暗物质质量为m,行星质量为m0,两星球球心距离为R,由万有引力提供向心力得,行星转动周期的理论值满足G=m0R,行星转动周期的观测值满足G=m0R,=k(k>1),解得m=(k2-1)M,选项C正确。

4.答案　(1)6∶1　(2)1∶1

解析　(1)设星球M和星球N表面的重力加速度分别为gM和gN,P、Q两物体的质量分别为mP和mQ。

由牛顿第二定律可得mg-kx=ma

故加速度a=-+g

由题图可知=,=

解得mQ∶mP=6∶1

(2)由a=-+g结合题图可得gM∶gN=3∶1

在星球表面有mg=G

可得gR2=GM

又有M=ρπR3

可得ρ=

故ρM∶ρN==1∶1

5.BD　设行星绕恒星运动的轨道半径为r,根据万有引力提供向心力,有G=m,其中v=,解得r=,M=,选项A、C错误,B正确;行星的向心加速度为a=ωv=,D正确。

6.A　对于探测器,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律,有G=m·2R·,解得m月=,故A正确;在月球表面附近,物体的重力等于万有引力,有mg月=,解得月球表面的重力加速度为g月==,故B错误;月球的密度ρ===,故C错误;设月球表面的环绕速度为v,根据牛顿第二定律,有G=m,解得v==,故D错误。

导师点睛

在解决天体运动中相关物理量的分析与计算问题时,要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型,即将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣物体做圆周运动的动力学特征,即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论:在向心加速度、线速度、角速度和周期这四个物理量中,只有周期随着轨道半径的增大而增大,其余的三个物理量都随轨道半径的增大而减小。

7.D　设星体S1和S2的质量分别为m1、m2,星体S1做圆周运动的向心力由万有引力提供,可得G=m1,解得m2=,故D正确。

8.BD　互相围绕运行的恒星属于双星系统,大、小两颗恒星的转动周期和角速度均相等,故A错误,B正确;设大恒星距两恒星运动轨迹的圆心的距离为x1,小恒星距两恒星运动轨迹的圆心的距离为x2,有Mω2x1=ω2x2,可得大、小两颗恒星的转动半径之比为1∶3,C错误,D正确。