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高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就优秀学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就优秀学案设计，共15页。学案主要包含了黄金代换公式，天体质量和密度的计算，解决天体问题的基本方法等内容，欢迎下载使用。
天体质量和密度的求解
一、万有引力提供向心力的中心环绕模型
理解天体做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，掌握由此得出的一些表达式：
G=m a=m=mω2R= mR，从而推导出对于天体在不同的轨道R上做圆周运动时的a、v、ω、T与轨道半径（R）的关系。
1. 得，所以R越大，a越小；
2. 由得，所以R越大，υ越小；
3. 由得，所以R越大，ω越小；
4. 由R得，所以R越大，T越大；
5. 模型总结：当行星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。总结为：高轨低速长周期。
二、黄金代换公式
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
即黄金代换式。
同样可以推得在天体表面h处，重力加速度
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大。
三、天体质量和密度的计算
1. 天体质量的计算
（1）测“g”法：根据天体表面的重力加速度来求天体质量
mg＝，则M＝
（2）环绕法：万有引力提供向心力（利用天体的卫星来求天体的质量）
G＝mr＝m＝mω2r来求得质量M＝＝＝
注：此种方法只能求出中心天体的质量。
2. 天体密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。
由mg＝和M＝ρ·πR3，
得ρ＝
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。
（2）利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G＝mr，M＝ρ·πR3，
得ρ＝＝＝
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：
ρ＝
注：天体近似可看作正球体，其体积可表示为，故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。
四、解决天体问题的基本方法
1. 一个模型：天体的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
2. 两组公式：
G=m a=m=m rω2=mr
，即
3. 四个重要物理量
（1）线速度：由得，所以R越大，υ越小；
（2）角速度：由得，所以R越大，ω越小；
（3）周期：由得，所以R越大，T越大；
（4）向心加速度：由得，所以R越大，a越小；
4. 两条基本思路：
（1）万有引力提供天体运动的向心力
质量为m的行星或卫星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得G=m a=m=m rω2=mr。
（2）不考虑地球自转的影响时，在地球表面附近有，化简得。通常叫做黄金代换式，适用于任何天体。
1. 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
答案：
解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
A： ①
B： ②
①/②得：，∴
根据，可知：
2. 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。
答案：
解析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2＋h2＝L2①
同理，对于第二次平抛过程有（2x）2＋h2＝（L）2②
由①②解得h＝。
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得h＝gt2③
由万有引力定律与牛顿第二定律，得G＝mg④
由以上各式可解得M＝
继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度。
答案：
解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。
由题意
所以：。
又
得：
1. 万有引力提供向心力的中心环绕模型
得，所以R越大，υ越小；
得，所以R越大，ω越小；
得，所以R越大，T越大；
特性：高轨低速长周期
2. 黄金代换公式
在不计地球自转的时候严格成立，由于地球自转所需的向心力与重力相比很小，因此黄金代换式在所有的问题中都可以使用，在使用时需要注意公式中的为研究对象距星球球心的距离。
3. 求解天体质量和密度的方法
（1）黄金代换：
（2）万有引力提供向心力：G＝mr＝m＝mω2r
（答题时间：30分钟）
1. 卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F跟半径r的关系是（ ）
A. 由公式F＝m可知，F和r成反比
B. 由公式F＝mrω2可知，F和r成正比
C. 由公式F＝mvω可知，F和r无关
D. 由公式F＝可知，F和r2成反比
2. 设地球半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则（ ）
A. 卫星的线速度为 B. 卫星的角速度为
C. 卫星的加速度为 D. 卫星的周期为2π
3. 一个物体在地球表面所受的重力为G，则在距离地面高度为地球半径的2倍时，所受引力为（ ）
A. G/2 B. G/3 C. G/4 D. G/9
4. 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，要使卫星周期变为2T，可能的办法有（ ）
A. R不变，线速度变为v/2 B. v不变，使其轨道半径变为2R
C. 轨道半径变为R D. 速度、轨道半径都加倍
5. 某星球质量为地球的9倍，半径约为地球的一半，在地球表面从某一高度平抛一物体，其水平射程为60m。则在该星球上，从同样高度，以同样的水平速度抛出同一物体，其水平射程为（ ）
A. 360m B. 90m C. 15m D. l0m
6. 天文观察到某行星有一颗卫星以半径为R、周期为T环绕该行星做圆周运动，已知卫星质量为m，求：
（1）该行星的质量M；
（2）如果该行星的半径是卫星运行轨道半径的1/10，那么行星表面的重力加速度有多大？
7. 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min。已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度。（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
1.【答案】D
【解析】解：A. 人造卫星做圆周运动万有引力提供向心力，=，v=，r变化，v变化，所以由公式F=可知F和r成反比是错误的，故A错误；
B. =mω2r，ω=，
F变化，r变化，所以由公式F=mω2r可知F和ω2成正比是错误的，故B错误；
C. 由公式F=可知F和r2成反比，故C错误，D正确；
故选：D。
2. 【答案】C
【解析】根据万有引力提供向心力，黄金代换式，求出卫星的线速度、角速度、周期和加速度。
A. 万有引力等于重力=mg，得，根据万有引力提供向心力====ma，得。
B. 。
C. 。
D. 。
故选C。
3.【答案】D
【解析】根据可得，当物体在距离地面高度为地球半径的2倍时，所受到的引力变为原来的，选D。
4.【答案】C
【解析】A. 若半径R不变，使卫星的线速度减小，卫星将做近心运动，周期减小。故A错误。
B. 若v不变，卫星只能在原轨道上运动，半径不变，周期也不变。故B错误。
C. 设地球的质量为M，卫星的质量为m。由牛顿第二定律得：，得到。根据数学知识可知，使轨道半径R变为时，卫星的周期变2T。
D. 根据前面的分析，速度、轨道半径都加倍，无法实现，故D错误。
故选C。
5.【答案】D
【解析】设星球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R，已知星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，
由万有引力等于重力得在地球上：=mg，
解得：g=
在某星球上则有：
所以有： ①
所以该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值是36：1。
由题意从同样高度抛出，h=gt2=g′t′2 ②
①、②联立，解得：t′=t，
在地球上的水平位移：s=v0t=60m，
在星球上的：s′=v0t′=v0t=10m。
6. 【答案】；
【解析】（1）根据万有引力定律和向心力公式：（1）
解得
（2）在行星表面，万有引力等于重力：（2）
联立（1）（2）得：
答：（1）该行星的质量；（2）行星表面处的重力加速度。
7. 【答案】3.26×103kg/m3
【解析】根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
=7.2×1022kg
根据密度公式有
双星模型
1. 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2. 双星模型特征
（1）两颗星彼此相距较近。
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3. 双星模型隐含条件
（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。
（2）“周期、角速度相等”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即。
注意：双星模型中应注意：双星做匀速圆周运动的向心力大小相等、周期、角速度相同；做匀速圆周运动的半径和线速度一般不相等，半径与质量成反比，与线速度大小成正比。
4. 分析双星问题的两个关键点
（1）向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力。
（2）圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径。
银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。 由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）；S1和S2的总质量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D C
【解析】设两颗恒星的质量分别为、，做圆周运动的半径分别为、。
根据题意有
根据万有引力定律和牛顿定律，有
联立以上各式解得 ，，
双星A和B的质量分别为M和m，A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，已知M>m，不考虑其他星球对双星的影响，A和B两者中心之间距离为L，A、B的中心和O点三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。如果把星球B的一部分逐渐搬到星球A上，但保持二者间的距离不变，以下说法正确的是（ ）
A. 双星间的引力减小
B. 双星转动的圆心位置不变
C. 双星转动的圆心向星球B移动
D. 双星转动的周期不变
【答案】AD
【解析】A、B间的万有引力F＝，M与m的和一定，二者差越大，乘积越小，A正确；A、B的中心与O点三点始终共线，则A、B的角速度相等，则有Mω2r1＝mω2r2，即双星的质量和半径满足Mr1＝mr2，M增大，r1减小，B、C错误；双星的周期为2π，双星的质量和不变，周期不变，D正确。
1. 双星问题的“两等”
（1）它们的角速度相等。
（2）双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
2. 双星问题的半径
双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。两个星体的轨道半径r1与r2一般也不相等，它们等于质量的反比。
（答题时间：30分钟）
1. 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。两星中心距离为，其运动周期为，求两星的总质量。
2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
3. 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
1.【答案】
【解析】两星间的万有引力提供它们各自做圆周运动的向心力，两圆周运动的半径之和为两星中心间的距离。设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上点O做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到点O的距离分别为l1和l2，由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：， 联立解得：。
2.【答案】B
【解析】设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2。根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M1（）2r1＝M2（）2r2，解得＝（）2（r1＋r2），即＝（）2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝（）2②，联立①②两式可得T′＝，故B项正确
3.【解析】（1）对于在半径R上运动的任一星体，由牛顿第二定律：
G＋G＝m
得：v＝ T＝＝4π。
（2）设第二种形式下星体之间的距离为r，它们之间的万有引力：F0＝G
每个星体受到其他两个星体的合力为F＝2F0cs30°＝G
由牛顿第二定律：F＝m（）2r′
其中r′＝ 得：r＝。
重难点
题型
分值
重点
万有引力提供向心力
选择
计算
8-12分
难点
中心环绕模型与黄金代换公式的准确使用
重难点
题型
分值
重点
双星模型的特征
选择
计算
4-6分
难点
双星模型参数的计算
天体质量和密度的求解
一、万有引力提供向心力的中心环绕模型
理解天体做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，掌握由此得出的一些表达式：
G=m a=m=mω2R= mR，从而推导出对于天体在不同的轨道R上做圆周运动时的a、v、ω、T与轨道半径（R）的关系。
1. 得，所以R越大，a越小；
2. 由得，所以R越大，υ越小；
3. 由得，所以R越大，ω越小；
4. 由R得，所以R越大，T越大；
5. 模型总结：当行星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。总结为：高轨低速长周期。
二、黄金代换公式
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
即黄金代换式。
同样可以推得在天体表面h处，重力加速度
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大。
三、天体质量和密度的计算
1. 天体质量的计算
（1）测“g”法：根据天体表面的重力加速度来求天体质量
mg＝，则M＝
（2）环绕法：万有引力提供向心力（利用天体的卫星来求天体的质量）
G＝mr＝m＝mω2r来求得质量M＝＝＝
注：此种方法只能求出中心天体的质量。
2. 天体密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。
由mg＝和M＝ρ·πR3，
得ρ＝
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。
（2）利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G＝mr，M＝ρ·πR3，
得ρ＝＝＝
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：
ρ＝
注：天体近似可看作正球体，其体积可表示为，故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。
四、解决天体问题的基本方法
1. 一个模型：天体的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
2. 两组公式：
G=m a=m=m rω2=mr
，即
3. 四个重要物理量
（1）线速度：由得，所以R越大，υ越小；
（2）角速度：由得，所以R越大，ω越小；
（3）周期：由得，所以R越大，T越大；
（4）向心加速度：由得，所以R越大，a越小；
4. 两条基本思路：
（1）万有引力提供天体运动的向心力
质量为m的行星或卫星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得G=m a=m=m rω2=mr。
（2）不考虑地球自转的影响时，在地球表面附近有，化简得。通常叫做黄金代换式，适用于任何天体。
1. 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
答案：
解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
A： ①
B： ②
①/②得：，∴
根据，可知：
2. 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。
答案：
解析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2＋h2＝L2①
同理，对于第二次平抛过程有（2x）2＋h2＝（L）2②
由①②解得h＝。
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得h＝gt2③
由万有引力定律与牛顿第二定律，得G＝mg④
由以上各式可解得M＝
继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度。
答案：
解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。
由题意
所以：。
又
得：
1. 万有引力提供向心力的中心环绕模型
得，所以R越大，υ越小；
得，所以R越大，ω越小；
得，所以R越大，T越大；
特性：高轨低速长周期
2. 黄金代换公式
在不计地球自转的时候严格成立，由于地球自转所需的向心力与重力相比很小，因此黄金代换式在所有的问题中都可以使用，在使用时需要注意公式中的为研究对象距星球球心的距离。
3. 求解天体质量和密度的方法
（1）黄金代换：
（2）万有引力提供向心力：G＝mr＝m＝mω2r
（答题时间：30分钟）
1. 卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F跟半径r的关系是（ ）
A. 由公式F＝m可知，F和r成反比
B. 由公式F＝mrω2可知，F和r成正比
C. 由公式F＝mvω可知，F和r无关
D. 由公式F＝可知，F和r2成反比
2. 设地球半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则（ ）
A. 卫星的线速度为 B. 卫星的角速度为
C. 卫星的加速度为 D. 卫星的周期为2π
3. 一个物体在地球表面所受的重力为G，则在距离地面高度为地球半径的2倍时，所受引力为（ ）
A. G/2 B. G/3 C. G/4 D. G/9
4. 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，要使卫星周期变为2T，可能的办法有（ ）
A. R不变，线速度变为v/2 B. v不变，使其轨道半径变为2R
C. 轨道半径变为R D. 速度、轨道半径都加倍
5. 某星球质量为地球的9倍，半径约为地球的一半，在地球表面从某一高度平抛一物体，其水平射程为60m。则在该星球上，从同样高度，以同样的水平速度抛出同一物体，其水平射程为（ ）
A. 360m B. 90m C. 15m D. l0m
6. 天文观察到某行星有一颗卫星以半径为R、周期为T环绕该行星做圆周运动，已知卫星质量为m，求：
（1）该行星的质量M；
（2）如果该行星的半径是卫星运行轨道半径的1/10，那么行星表面的重力加速度有多大？
7. 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min。已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度。（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
1.【答案】D
【解析】解：A. 人造卫星做圆周运动万有引力提供向心力，=，v=，r变化，v变化，所以由公式F=可知F和r成反比是错误的，故A错误；
B. =mω2r，ω=，
F变化，r变化，所以由公式F=mω2r可知F和ω2成正比是错误的，故B错误；
C. 由公式F=可知F和r2成反比，故C错误，D正确；
故选：D。
2. 【答案】C
【解析】根据万有引力提供向心力，黄金代换式，求出卫星的线速度、角速度、周期和加速度。
A. 万有引力等于重力=mg，得，根据万有引力提供向心力====ma，得。
B. 。
C. 。
D. 。
故选C。
3.【答案】D
【解析】根据可得，当物体在距离地面高度为地球半径的2倍时，所受到的引力变为原来的，选D。
4.【答案】C
【解析】A. 若半径R不变，使卫星的线速度减小，卫星将做近心运动，周期减小。故A错误。
B. 若v不变，卫星只能在原轨道上运动，半径不变，周期也不变。故B错误。
C. 设地球的质量为M，卫星的质量为m。由牛顿第二定律得：，得到。根据数学知识可知，使轨道半径R变为时，卫星的周期变2T。
D. 根据前面的分析，速度、轨道半径都加倍，无法实现，故D错误。
故选C。
5.【答案】D
【解析】设星球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R，已知星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，
由万有引力等于重力得在地球上：=mg，
解得：g=
在某星球上则有：
所以有： ①
所以该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值是36：1。
由题意从同样高度抛出，h=gt2=g′t′2 ②
①、②联立，解得：t′=t，
在地球上的水平位移：s=v0t=60m，
在星球上的：s′=v0t′=v0t=10m。
6. 【答案】；
【解析】（1）根据万有引力定律和向心力公式：（1）
解得
（2）在行星表面，万有引力等于重力：（2）
联立（1）（2）得：
答：（1）该行星的质量；（2）行星表面处的重力加速度。
7. 【答案】3.26×103kg/m3
【解析】根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
=7.2×1022kg
根据密度公式有
双星模型
1. 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2. 双星模型特征
（1）两颗星彼此相距较近。
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3. 双星模型隐含条件
（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。
（2）“周期、角速度相等”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即。
注意：双星模型中应注意：双星做匀速圆周运动的向心力大小相等、周期、角速度相同；做匀速圆周运动的半径和线速度一般不相等，半径与质量成反比，与线速度大小成正比。
4. 分析双星问题的两个关键点
（1）向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力。
（2）圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径。
银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。 由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）；S1和S2的总质量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D C
【解析】设两颗恒星的质量分别为、，做圆周运动的半径分别为、。
根据题意有
根据万有引力定律和牛顿定律，有
联立以上各式解得 ，，
双星A和B的质量分别为M和m，A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，已知M>m，不考虑其他星球对双星的影响，A和B两者中心之间距离为L，A、B的中心和O点三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。如果把星球B的一部分逐渐搬到星球A上，但保持二者间的距离不变，以下说法正确的是（ ）
A. 双星间的引力减小
B. 双星转动的圆心位置不变
C. 双星转动的圆心向星球B移动
D. 双星转动的周期不变
【答案】AD
【解析】A、B间的万有引力F＝，M与m的和一定，二者差越大，乘积越小，A正确；A、B的中心与O点三点始终共线，则A、B的角速度相等，则有Mω2r1＝mω2r2，即双星的质量和半径满足Mr1＝mr2，M增大，r1减小，B、C错误；双星的周期为2π，双星的质量和不变，周期不变，D正确。
1. 双星问题的“两等”
（1）它们的角速度相等。
（2）双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
2. 双星问题的半径
双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。两个星体的轨道半径r1与r2一般也不相等，它们等于质量的反比。
（答题时间：30分钟）
1. 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。两星中心距离为，其运动周期为，求两星的总质量。
2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
3. 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
1.【答案】
【解析】两星间的万有引力提供它们各自做圆周运动的向心力，两圆周运动的半径之和为两星中心间的距离。设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上点O做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到点O的距离分别为l1和l2，由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：， 联立解得：。
2.【答案】B
【解析】设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2。根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M1（）2r1＝M2（）2r2，解得＝（）2（r1＋r2），即＝（）2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝（）2②，联立①②两式可得T′＝，故B项正确
3.【解析】（1）对于在半径R上运动的任一星体，由牛顿第二定律：
G＋G＝m
得：v＝ T＝＝4π。
（2）设第二种形式下星体之间的距离为r，它们之间的万有引力：F0＝G
每个星体受到其他两个星体的合力为F＝2F0cs30°＝G
由牛顿第二定律：F＝m（）2r′
其中r′＝ 得：r＝。
重难点
题型
分值
重点
万有引力提供向心力
选择
计算
8-12分
难点
中心环绕模型与黄金代换公式的准确使用
重难点
题型
分值
重点
双星模型的特征
选择
计算
4-6分
难点
双星模型参数的计算
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