高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就学案及答案

7.3万有引力理论的成就学案

【学习目标】

1.通过对行星绕恒星运动、卫星运动的共同点和万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力的认识，学会用万有引力定律计算天体的质量和密度，掌握综合分析具体问题的方法。
2.通过查阅资料，了解万有引力定律在天文学上有重要应用。
3.通过了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，能计算地球质量。

【重点难点】

重点：1.地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。
2.通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
难点：根据已有条件求中心天体的质量。

【自主学习】

1.若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于_______对物体的即mg=_______，式中m地是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此可得出地球的质量m地=________。

2.将行星绕太阳的运动近似看成_________运动，行星做圆周运动的向心力由___________提供，则有_______式中m太是__________的质量，m是___________的质量，r是________，也就是行星和太阳中心的距离，T是______________。由此可得出太阳的质量为：_____________。

3.同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的_________和卫星与行星之间的________，也可以计算出行星的质量。

4.太阳系中，观测行星的运动，可以计算____________的质量；观测卫星的运动，可以计算_________的质量。

5.18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据____________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的___________使其轨道产生了偏离。__________和___________确立了万有引力定律的地位。

6.应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：

（1）把天体（行星或卫P星）的运动近似看成是________运动，向心力由它们之间的_______提供，即F万=F向，可以用来计算天体的质量，讨论行星（或卫星）的线速度、角速度、周期等问题。

基本公式：_________= 。

（2）地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的__________，即F万=G=mg，主要用

于计算涉及重力加速度的问题。基本公式：mg=_____（m在M的表面上），即GM=gR2。

【重难详解】

一、天体质量的计算

(1) 根据万有引力等于重力(测法)

已知所求天休的半径及其表面的重力加速度,忽略天体自转的影响，则物体的重力等于天体对物体的万有引力，即，解得天体质量为 M=,g,R-2.-G.

(2) 根据万有引力提供向心力(环绕法)

质量为的行星或卫星绕所求天体做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星所需的向心力，即G,Mm-,r-2..=m,,v-2.-r.=m,ω-2.r=m,,,2π-T..-2.r，解得天体质量为①，②，③

二、天体密度的计算（平均密度）

质量为的天体绕质量为的中心天体做匀速圆周运动，轨道半径为r，周期为T，中心天体的半径为，由知

(中心天体的平均密度)

当行星或卫星绕中心天体表面运行时，，则

三、天体运动的分析与计算

两条基本思路：

1、万有引力提供天体运动的向心力

质量为m的行星或卫星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得

2、黄金代换

在不考虑地球自转(忽略)的影响时，在地球表面附近有，化简得。

通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度”g代换GM。

【巩固练习】

1.已知引力常量G和下列某组数据，就能计算出地球的质量，这组数据是(   )

A.地球绕太阳运行的周期及地球与太阳之间的距离

B.月球绕地球运行的周期及地球半径

C.人造地球卫星在地面绕行速度及地球自转周期

D.地球自转周期、地球表面赤道上的重力加速度和两极的重力加速度

2.宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，小球经过时间t落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，小球需经过时间落回原处。已知该星球的半径与地球的半径之比为，空气阻力不计，则该星球与地球的质量之比是(   )

A. B. C. D.

3.假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为(   )

A. B. C. D.

4.2021年10月14日18时51分，我国成功发射首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”。羲和号绕地球飞行的轨道视为圆轨道，轨道离地面高度为，该轨道经过地球的南北极且圆心是地心，能够24小时连续对太阳进行观测。已知地球同步卫星离地面的高度为，对于羲和号和地球同步卫星，下列说法正确的是(   )

A.羲和号轨道平面可能与地球同步卫星轨道平面重合

B.羲和号绕地球运行的线速度大于地球同步卫星的线速度

C.羲和号绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度

D.羲和号绕地球做匀速圆周运动的周期大于地球同步卫星的周期

5.“月地检验”是想验证“地球与月球间的作用力”与“地球对苹果的吸引力”是同种性质的力。在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(   )

A.月球表面的自由落体加速度约为地球表面的

B.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的

C.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的

D.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的

6.两颗地球卫星绕地球运转的周期之比为，则(   )

A.线速度之比为 B.轨道半径之比为8:1 C.向心加速度之比为1:2              D.质量之比为1:1

7.我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面，宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平位移为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：

（1）该星球表面的重力加速度；

（2）该星球的平均密度。

8.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，则：
（1）若在该星球上发射卫星，求最小的发射速度。
（2）该星球的平均密度为多大？

参考答案

1.答案：D

解析：A.地球绕太阳运行的周期及地球与太阳间距离根据万有引力提供圆周运动向心力，可以计算中心天体太阳的质量，而不可以计算环绕天体地球的质量，故A错误；
B.根据万有引力提供圆周运动向心力,但不知道月球与地球间的距离，则无法计算出地球的质量，故B错误；
C.人造地球卫星在地面附近绕行的速度但是不知道周期或半径，故无法求出地球的质量，故C错误；
D.在赤道在两极联立则可解得地球的质量，故D正确。
故选D。

2.答案：C

解析：小球在地球上做竖直上抛运动，有：
小球在星球上做竖直上抛运动，有：
地（星）球表面物体所受重力大小近似于万有引力，即：，
联立解得：，故C正确，ABD错误。
故选：C。

3.答案：A

解析：轨道舱绕月飞行的轨道半径等于月球半径，设月球密度为，由万有引力定律得，，地球同步卫星绕地球运动时，，又知，联立可得，故A项正确。

4.答案：BC

解析：A.羲和号轨道平面通过地球的南北极，而地球同步卫星的轨道与赤道面重合，故羲和号轨道平面与地球同步卫星轨道平面不重合，A错误；
BCD.由引力作为向心力可得，解得，，，由于羲和号绕地球运行的道半径较小，故其线速度、向心加速度较大，运行周期较小，BC正确，D错误。
故选BC。

5.答案：C

解析：“月地检验”是检验地球上的物体受到地球的引力与月球受到地球的引力是否时同一性质的力，在地球表面上，在月球所在位置，可得，因此需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。
故选C。

6.答案：A

解析：由开普勒行星运动定律可知，两颗地球卫星绕地球运动的轨道半径之比为，由，可得线速度之比为，选项A正确，B错误；由向心加速度公式可得向心加速度之比为1:4，选项C错误；不能判断两颗地球卫星的质量关系，选项D错误。

7.答案：（1）

（2）

解析：（1）小球在星球表面做平抛运动，有
解得。

（2）在星球表面满足
又，解得。

8.答案：（1）

（2）

解析：（1）抛出点高度h、水平射程x与L之间有关系

当初速度增加到2倍时，由平抛运动学知识，水平射程也增加到2倍变为，则有
根据题意有
在星球上发射卫星时，有
联立解得最小发射速度。
（2）由（1）可得
在星球表面上
而
联立解得。