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2020-2021学年23.2.1 中心对称学案设计
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这是一份2020-2021学年23.2.1 中心对称学案设计，文件包含232中心对称讲义学生版docx、232中心对称讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。
1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图形．
2．理解中心对称图形．
3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．
4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．
【学习重难点】
重点：中心对称性质的应用
难点：旋转中的截长补短方法。
知识点一：中心对称及其相关概念
中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例题．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称的知识，掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
变式1．下列英语单词中，是中心对称图形的是（ ）
A．SOSB．CEOC．MBAD．SAR
【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图形，依据定义即可解决．
【解答】解：是中心对称图形的是A，故选A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，是需要熟记的内容．
变式2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【点评】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
知识点二：中心对称的性质
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
例题．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO=BOB．BO=EO
C．点A关于点O的对称点是点DD．点D 在BO的延长线上
【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可．
【解答】解：A、AO=OE，错误；
B、BO=DO，错误；
C、点A关于点O的对称点是点E，错误；
D、点D 在BO的延长线上，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称的知识，难度不大，其实中心对称即是旋转的特例．
变式1．成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（ ）
①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图形上；⑤对称中心必在对应点的连线上．
A．①③B．③④C．④⑤D．①⑤
【分析】根据成中心对称的图形的性质，对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①成中心对称的两个图形能够完全重合，所以一定形状相同，故本小题正确；
②成中心对称的两个图形能够完全重合，所以大小一定相等，故本小题错误；
③对称中心不在图形上，故本小题错误；
④对称中心不一定在任何一个图形上，故本小题错误；
⑤对称中心为对应点连线的中点，所以必在对应点的连线上，故本小题正确，
综上所述，正确的有①⑤．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称，是基本概念题，熟练掌握成中心对称图形的性质是解题的关键．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（0，0）C．（2，﹣1）D．（﹣1，3）
【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
【解答】解：连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
观察图形知，E（3，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是关键．
变式3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°，∠BAC= 55 °．
【分析】由△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，得到△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质和三角形内角和即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠BCA=∠B′C′A′=80°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAC=180°﹣45°﹣80°=55°，
故答案为：55．
【点评】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
知识点三：中心对称的作图方法
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
例题．如图，作出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°的图形．
【分析】连接AO，过点O作OA′，且按逆时针方向旋转90°，即令∠AOA′=90°，OA′=OA，则点A′就是A点旋转后的对应点，按照此方法可依次找到B，C的对应点B′，C′．顺次连接各点即可得到旋转后的三角形．
【解答】解：
【点评】本题考查旋转作图．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
变式1．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．
【分析】（1）把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到△△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2，从而得到△A1B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
变式2在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C．
【分析】（1）依据△ABC向下平移5个单位长度，即可得到平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）依据△ABC绕点C逆时针旋转90°，即可得到旋转后的△A3B3C．
【解答】解：（1）A1B1C1如图所示，点A1的坐标为（4，﹣1）；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△A3B3C如图所示．
【点评】本题主要考查了利用平移变换，轴对称变换以及旋转变换进行作图，作图时需要注意旋转中心、旋转方向和角度，平移的方向和距离．
知识点四：中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
知识点五：关于远点对称的点的坐标
例题．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，找出即是轴对称图形又是中心对称图形的图形即可．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项中图形为轴对称的有A、C、D．
根据中心对称图形的定义，选项中图形为中心对称的有B、D．
综上可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
变式1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
变式2.下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有 ②④⑤⑥ （填序号）
【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可．
【解答】解：是中心对称图形的有：②平行四边形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形．
故答案为：②④⑤⑥．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
拓展点一：中心对称图形与轴对称图形的综合辨析问题
例题．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：第一个图案是轴对称图形，而不是中心对称图形．符合题意；
其余三个图案既是中心对称图形，又是轴对称图形．不符合题意．
故是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是1个．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
变式1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式2．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD、BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】先根据图形平移的性质得到四边形ABCD，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．
【解答】解：如图所示：
观察图形可知四边形ABCD是菱形，
则四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
【点评】考查了坐标与图形变化﹣平移，轴对称图形和中心对称图形的定义，关键是得到四边形ABCD是菱形．
拓展点二：中心对称和中心对称图形的性质和应用
例题．如图，点A，B，C的坐标分别为（2，5），（6，3），（4，﹣1）；若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（3，2）D．（1，0）
【分析】观察图形可知AB=BC，根据四边形的对称性，四边形ABCD为菱形符合要求，然后确定出点D的位置即可．
【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（2，5），（6，3），（4，﹣1），
∴AB==2，
BC==2，
∴AB=BC，
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴四边形ABCD是菱形时满足要求，
如图，点D的坐标为（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，坐标与图形性质，轴对称图形，熟记特殊四边形的对称性是解题的关键．
变式1．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
【分析】连接对应点BB′、CC′，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心O点．
【解答】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．
如图所示：
【点评】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
变式2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD=DE，AE=BC，
∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
【点评】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．
拓展点三：关于原点对称的点的坐标特征
例题．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
变式1．在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则=（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质得出P2坐标，进而得出答案．
【解答】解：∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），
∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），
∴P2（3，﹣），
∴==﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于x轴对称点的性质，得出P点坐标是解题关键．
变式2．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．这样就可以得到关于a，b的方程组，解方程组就可以求出a，b的值．
【解答】解：根据题意，得，
解得．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题．解决的关键是对知识点的正确记忆．
这类题目一般可以转化为方程或方程组的问题，能够熟练运用消元法解方程组．
拓展点四：平移、轴对称、中心对称的综合作图题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 （0，﹣3） ．
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．
【解答】解：（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【分析】（1）根据坐标与图形的性质确定对应点的坐标，找出对应点的横纵坐标之间的关系；
（2）根据对应点的横纵坐标之间的关系列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（3，1），点F的坐标为（﹣3，﹣1），对应点的横、纵坐标分别互为相反数；
（2）由（1）得，，
解得，，
答：a=2，b=1．
【点评】本题考查的是几何变换的类型，掌握坐标与图形的性质、正确找出对应点的横纵坐标之间的关系是解题的关键．
3．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．
（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 （﹣x，﹣y） ．
（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．
（3）直接写出AC与y轴交点的坐标 （0，） ．
【分析】（1）依据点M与点N关于原点对称，即可得到点N的坐标；
（2）依据三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位即可得到三角形P′Q′R′，进而得出三角形P′AC的面积．
（3）先求得直线AC解析式为y=x+，当x=0时，y=，即AC与y轴交点的坐标为（0，）．
【解答】解：（1）如图，点M与点N关于原点对称，
∴点N的坐标为（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（2）如图，△P′Q′R′即为所求，
S△P'AC=×3×4﹣×1×2﹣×1×3﹣1×1=6﹣1﹣1.5﹣1=2.5；
（3）设直线AC解析式为y=kx+b，
把A（4，3），C（1，2）代入，可得
，
解得，
∴直线AC解析式为y=x+，
当x=0时，y=，即AC与y轴交点的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】此题主要考查了几何变换的类型，利用已知对应点坐标特点得出是解题关键．在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．
1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图形．
2．理解中心对称图形．
3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．
4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．
【学习重难点】
重点：中心对称性质的应用
难点：旋转中的截长补短方法。
知识点一：中心对称及其相关概念
中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例题．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称的知识，掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
变式1．下列英语单词中，是中心对称图形的是（ ）
A．SOSB．CEOC．MBAD．SAR
【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图形，依据定义即可解决．
【解答】解：是中心对称图形的是A，故选A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，是需要熟记的内容．
变式2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【点评】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
知识点二：中心对称的性质
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
例题．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO=BOB．BO=EO
C．点A关于点O的对称点是点DD．点D 在BO的延长线上
【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可．
【解答】解：A、AO=OE，错误；
B、BO=DO，错误；
C、点A关于点O的对称点是点E，错误；
D、点D 在BO的延长线上，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称的知识，难度不大，其实中心对称即是旋转的特例．
变式1．成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（ ）
①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图形上；⑤对称中心必在对应点的连线上．
A．①③B．③④C．④⑤D．①⑤
【分析】根据成中心对称的图形的性质，对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①成中心对称的两个图形能够完全重合，所以一定形状相同，故本小题正确；
②成中心对称的两个图形能够完全重合，所以大小一定相等，故本小题错误；
③对称中心不在图形上，故本小题错误；
④对称中心不一定在任何一个图形上，故本小题错误；
⑤对称中心为对应点连线的中点，所以必在对应点的连线上，故本小题正确，
综上所述，正确的有①⑤．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称，是基本概念题，熟练掌握成中心对称图形的性质是解题的关键．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（0，0）C．（2，﹣1）D．（﹣1，3）
【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
【解答】解：连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
观察图形知，E（3，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是关键．
变式3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°，∠BAC= 55 °．
【分析】由△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，得到△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质和三角形内角和即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠BCA=∠B′C′A′=80°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAC=180°﹣45°﹣80°=55°，
故答案为：55．
【点评】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
知识点三：中心对称的作图方法
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
例题．如图，作出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°的图形．
【分析】连接AO，过点O作OA′，且按逆时针方向旋转90°，即令∠AOA′=90°，OA′=OA，则点A′就是A点旋转后的对应点，按照此方法可依次找到B，C的对应点B′，C′．顺次连接各点即可得到旋转后的三角形．
【解答】解：
【点评】本题考查旋转作图．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
变式1．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．
【分析】（1）把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到△△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2，从而得到△A1B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
变式2在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C．
【分析】（1）依据△ABC向下平移5个单位长度，即可得到平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）依据△ABC绕点C逆时针旋转90°，即可得到旋转后的△A3B3C．
【解答】解：（1）A1B1C1如图所示，点A1的坐标为（4，﹣1）；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△A3B3C如图所示．
【点评】本题主要考查了利用平移变换，轴对称变换以及旋转变换进行作图，作图时需要注意旋转中心、旋转方向和角度，平移的方向和距离．
知识点四：中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
知识点五：关于远点对称的点的坐标
例题．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，找出即是轴对称图形又是中心对称图形的图形即可．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项中图形为轴对称的有A、C、D．
根据中心对称图形的定义，选项中图形为中心对称的有B、D．
综上可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
变式1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
变式2.下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有 ②④⑤⑥ （填序号）
【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可．
【解答】解：是中心对称图形的有：②平行四边形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形．
故答案为：②④⑤⑥．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
拓展点一：中心对称图形与轴对称图形的综合辨析问题
例题．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：第一个图案是轴对称图形，而不是中心对称图形．符合题意；
其余三个图案既是中心对称图形，又是轴对称图形．不符合题意．
故是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是1个．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
变式1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式2．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD、BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】先根据图形平移的性质得到四边形ABCD，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．
【解答】解：如图所示：
观察图形可知四边形ABCD是菱形，
则四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
【点评】考查了坐标与图形变化﹣平移，轴对称图形和中心对称图形的定义，关键是得到四边形ABCD是菱形．
拓展点二：中心对称和中心对称图形的性质和应用
例题．如图，点A，B，C的坐标分别为（2，5），（6，3），（4，﹣1）；若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（3，2）D．（1，0）
【分析】观察图形可知AB=BC，根据四边形的对称性，四边形ABCD为菱形符合要求，然后确定出点D的位置即可．
【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（2，5），（6，3），（4，﹣1），
∴AB==2，
BC==2，
∴AB=BC，
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴四边形ABCD是菱形时满足要求，
如图，点D的坐标为（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，坐标与图形性质，轴对称图形，熟记特殊四边形的对称性是解题的关键．
变式1．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
【分析】连接对应点BB′、CC′，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心O点．
【解答】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．
如图所示：
【点评】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
变式2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD=DE，AE=BC，
∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
【点评】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．
拓展点三：关于原点对称的点的坐标特征
例题．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
变式1．在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则=（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质得出P2坐标，进而得出答案．
【解答】解：∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），
∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），
∴P2（3，﹣），
∴==﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于x轴对称点的性质，得出P点坐标是解题关键．
变式2．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．这样就可以得到关于a，b的方程组，解方程组就可以求出a，b的值．
【解答】解：根据题意，得，
解得．
【点评】这一类题目是需要识记的基础题．解决的关键是对知识点的正确记忆．
这类题目一般可以转化为方程或方程组的问题，能够熟练运用消元法解方程组．
拓展点四：平移、轴对称、中心对称的综合作图题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 （0，﹣3） ．
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．
【解答】解：（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【分析】（1）根据坐标与图形的性质确定对应点的坐标，找出对应点的横纵坐标之间的关系；
（2）根据对应点的横纵坐标之间的关系列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（3，1），点F的坐标为（﹣3，﹣1），对应点的横、纵坐标分别互为相反数；
（2）由（1）得，，
解得，，
答：a=2，b=1．
【点评】本题考查的是几何变换的类型，掌握坐标与图形的性质、正确找出对应点的横纵坐标之间的关系是解题的关键．
3．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．
（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 （﹣x，﹣y） ．
（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．
（3）直接写出AC与y轴交点的坐标 （0，） ．
【分析】（1）依据点M与点N关于原点对称，即可得到点N的坐标；
（2）依据三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位即可得到三角形P′Q′R′，进而得出三角形P′AC的面积．
（3）先求得直线AC解析式为y=x+，当x=0时，y=，即AC与y轴交点的坐标为（0，）．
【解答】解：（1）如图，点M与点N关于原点对称，
∴点N的坐标为（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（2）如图，△P′Q′R′即为所求，
S△P'AC=×3×4﹣×1×2﹣×1×3﹣1×1=6﹣1﹣1.5﹣1=2.5；
（3）设直线AC解析式为y=kx+b，
把A（4，3），C（1，2）代入，可得
，
解得，
∴直线AC解析式为y=x+，
当x=0时，y=，即AC与y轴交点的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】此题主要考查了几何变换的类型，利用已知对应点坐标特点得出是解题关键．在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．
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