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2021学年3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性备课课件ppt
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这是一份2021学年3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性备课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了实数对xy，Ax+By+C0，同一侧，Ax0+By0+C等内容，欢迎下载使用。
主题1 二元一次不等式①2x+3y-6=0;②x-4y+4=01.这两个方程有什么共同特征?它们对应的几何图形是什么?提示:两个方程都含有两个未知数,且最高次数为1,它们对应的图形是坐标平面内的直线.
2.满足不等式2x+3y-6=0的实数x,y存在吗?是否唯一?提示:存在,但不唯一.
结论:二元一次不等式(1)概念:含有_____未知数,并且含有未知数的项的次数是__的不等式.(2)解集:满足二元一次不等式的x和y的取值构成__________________所有这样的有序实数对(x,y)构成的_____称为二元一次不等式的解集.
【对点训练】1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员,购买甲、乙两种奖品共30件花费不超过400元,其中甲种奖品每件16元,乙种奖品每件12元,设购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则所列方程式正确的是( )
A.x+y=30,12x+16y≤400B.x+y=30,16x+12y≤400C.12x+16y=30,30x+y≤400D.16x+12y=30,30x+y≤400
【解析】选B.题目中的两个等量关系式为:①甲、乙两种奖品共30件;②甲、乙两种奖品共花了不超过400元.
2.下列给出的各式中,是二元一次不等式的是( )(1)2x>y.(2)2x>3.(3)2x2-y<0.(4)y=2x+3.(5)3x-2y≤1.(6)3x-y>x2. A.(1) B.(3)(4)C.(1)(5)D.(2)(6)
【解析】选C.(1)(5)符合二元一次不等式的两个特征, (2)中只含有一个未知数,(3)(6)中的最高次数为二次, (4)是一个等式.
3.已知不等式(m2-4m+3)x2+(m-3)x+y+1≤0,m∈R是二元一次不等式,求实数m的值.
【解析】因为(m2-4m+3)x2+(m-3)x+y+1≤0,m∈R是二元一次不等式,所以 所以m=1.
主题2 二元一次不等式表示平面区域1.以二元一次方程x-y-4=0的解为坐标的点表示的图形是什么?它把平面分成几部分?
提示:表示一条直线.如图,它把平面分成3部分,即直线上、左上方区域和右下方区域.
2.分别将点P1,P2,P3,P4的坐标代入x-y-4中,计算其值,可得到一个什么样的结论?
提示:通过代入,计算其值,可知所得值都小于0.
3.根据2中的计算,直线x-y-4=0左上方任意一点的坐标(x,y)都满足一个什么关系式?反之如何?提示:x-y-4<0,反之若x-y-4<0,则以这个不等式的解为坐标的点的集合是直线x-y-4=0左上方的平面区域.
结论:二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式__________表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域.
(2)若二元一次不等式表示的区域不包括边界,则把直线画成_____;若二元一次不等式表示的区域包括边界,则把直线画成_____.
(3)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都_____.所以要确定二元一次不等式表示的平面区域,在直线Ax+By+C=0的_______取任意一个特殊点(x0,y0),判断_________的符号即可.
【拓展延伸】对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
【对点训练】1.下列结论正确的是( )A.原点在区域x+y≥0内B.原点在区域x+y+1<0内C.点(1,0)在区域y>2x内D.点(0,1)在区域x-y+1>0内
【解析】选A.将点的坐标代入二元一次不等式,由二元一次不等式的几何意义得选项A正确.
2.图中阴影部分可用二元一次不等式________来表示.
【解析】由题图可知二元一次方程所示的直线过(3,0),(0,4),故直线方程为4x+3y-12=0,又(0,0)在平面区域内,所以表示阴影部分的二元一次不等式为4x+3y-12≤0.答案:4x+3y-12≤0
类型一 二元一次不等式表示的平面区域【典例1】(1)不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直线x+2y-6=0的( )A.右上方B.左上方C.右下方D.左下方
(2)画出下列二元一次不等式表示的平面区域.①3x+2y+6>0;②y≥3x.
【解题指南】 (1)画出直线x+2y-6=0,利用特殊点判断.(2)先画出对应的二元一次方程代表的直线,再利用特殊点检验不等式所表示的区域.
【解析】(1)选D.画出直线x+2y-6=0,因为原点(0,0)满足x+2y-6<0,所以x+2y-6<0表示的平面区域包括原点(0,0),故不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直线x+2y-6=0的左下方.
(2)①画出直线3x+2y+6=0,因为这条直线上的点不满足3x+2y+6>0,所以画成虚线.
取原点(0,0),代入3x+2y+6.因为3×0+2×0+6=6>0,所以原点在不等式3x+2y+6>0表示的平面区域内,所以不等式3x+2y+6>0表示的平面区域如图①.②画出直线y=3x,取点(1,0),代入y-3x,
因为0-3×1=-3<0,所以(1,0)不在不等式y≥3x表示的平面区域内,所以y≥3x表示的平面区域如图②(包括边界).
【方法总结】判断二元一次不等式所表示区域的方法及注意问题
(1)判断方法①特殊点法作出直线Ax+By+C=0,在直线的一侧任取一点P(x0,y0).若Ax0+By0+C>0,则包括此点P的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域.
②观察法(Ⅰ)先将不等式化为一般形式Ax+By+C>0(或≥0或<0或≤0),其中A≥0.(Ⅱ)当A=0时较易判定:当A≠0时,直线Ax+By+C=0与x轴相交.
(Ⅲ)对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论:
(2)注意问题在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用“直线定界,特殊点定域”的方法画平面区域,先画Ax+By+C=0,取点代入Ax+By+C验证.在取点时,若直线不过原点,一般用“原点定域”;若直线过原点,则可取点(1,0)或(0,1),这样可简化运算.
【跟踪训练】1.不等式2x-y>0表示的平面区域(阴影部分)为( )
【解题指南】先通过边界直线的斜率,排除A,B,再通过点(1,0)代入检验.
【解析】选D.根据二元一次不等式对应的直线方程为y=2x,斜率为2,排除A,B;将点(1,0)代入不等式2x-y>0满足,故表示的平面区域在直线2x-y=0的下方.
2.画出2x-y-3>0表示的平面区域.【解题指南】先画出直线2x-y-3=0,注意画成虚线,再把点(0,0)代入检验,从而确定不等式表示的平面区域.
【解析】所求区域不包含直线,用虚线画出直线l:2x-y-3=0.将原点的坐标(0,0)代入2x-y-3,得2×0-0-3=-3<0,这样,就可以断定不等式2x-y-3>0所表示的区域为不包含原点的那一侧,如图阴影部分.
类型二 已知平面区域写出二元一次不等式【典例2】(1)如图所示的平面区域可用下列哪个不等式表示( )A.x-y+1>0B.x-y+1≥0C.x-y+1<0D.x-y+1≤0
(2)将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.
【解题指南】 先求出边界对应的直线方程,然后根据阴影部分点的坐标满足的二元一次不等式即为所求.
【解析】(1)选B.由直线过(0,1),(-1,0)可知,直线方程为x-y+1=0,由图可知(0,0)在所表示的平面区域内,且所表示区域包括边界.(2)①平面区域的边界为实线,直线方程为y=2,又因为平面区域在直线y=2的下方,所以平面区域满足的不等式是y≤2;
②平面区域的边界为虚线,直线方程为x=-1,又因为平面区域在直线x=-1的右侧,所以平面区域满足的不等式为x>-1;③平面区域的边界为实线,直线方程为3x+4y-12=0,又因为平面区域在直线3x+4y-12=0的左下方,所以平面区域满足的不等式为3x+4y-12≤0.
【方法总结】用不等式表示平面区域的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.
【跟踪训练】1.图中的平面区域(阴影部分),用不等式表示为________.
【解析】直线过(4,0), 两点,所以直线为2x+3y-8=0,则阴影部分表示为2x+3y-8≥0.答案:2x+3y-8≥0
2.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________.
【解析】由截距式可得直线方程为 =1,即y=- x+1.因为0<- ×0+1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y<- x+1,即x+2y-2<0表示.答案:x+2y-2<0
3.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.
【解析】①平面区域的边界线为虚线,方程为x=-2和x=2,所以平面区域满足的不等式是-20,所以平面区域满足的不等式是2x+y>0.
③平面区域的边界线为实线,方程为 =1,即x-y-2=0.因为原点(0,0)在平面区域中且满足不等式x-y-2<0,所以平面区域满足的不等式是x-y-2≤0.
类型三 二元一次不等式表示平面区域的应用【典例3】在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)
【解题指南】在直线上找出与点A(-2,t)横坐标相同的点,再根据题意写出t的范围.
【解析】选B.在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点P(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,如图知,实数t的取值范围是(1,+∞).
【方法总结】利用二元一次不等式对应的平面区域求参数值(范围)的步骤(1)确定位置:根据题意确定点在坐标平面中的位置,从而判断点是否在不等式表示的平面区域内.
(2)找关系:利用点的位置得出含参数的关系式,即关于该参数的不等式.(3)解不等式:由所得到的含参数的不等式,解得参数的取值范围.
【跟踪训练】1.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.
【解析】因为直线2x-3y+6=0的上方区域可以用不等式2x-3y+6<0表示,所以由点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方得-4-3t+6<0,解得t> .答案:
2.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围.【解题指南】求出点P关于原点的对称点坐标,两个点在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,从而符合不等式,可解得b的取值范围.
【解析】点P(1,-2)关于原点对称点P′(-1,2).由题意知 解得
【解析】因为点(m,2)在不等式2x-y+1>0表示的平面区域内,所以2m-2+1>0,所以m> ,因为点(m,2)不在3x-2y-2≥0表示的平面区域内,所以3m-2×2-2<0,所以m<2.综上可知
主题1 二元一次不等式①2x+3y-6=0;②x-4y+4=01.这两个方程有什么共同特征?它们对应的几何图形是什么?提示:两个方程都含有两个未知数,且最高次数为1,它们对应的图形是坐标平面内的直线.
2.满足不等式2x+3y-6=0的实数x,y存在吗?是否唯一?提示:存在,但不唯一.
结论:二元一次不等式(1)概念:含有_____未知数,并且含有未知数的项的次数是__的不等式.(2)解集:满足二元一次不等式的x和y的取值构成__________________所有这样的有序实数对(x,y)构成的_____称为二元一次不等式的解集.
【对点训练】1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员,购买甲、乙两种奖品共30件花费不超过400元,其中甲种奖品每件16元,乙种奖品每件12元,设购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则所列方程式正确的是( )
A.x+y=30,12x+16y≤400B.x+y=30,16x+12y≤400C.12x+16y=30,30x+y≤400D.16x+12y=30,30x+y≤400
【解析】选B.题目中的两个等量关系式为:①甲、乙两种奖品共30件;②甲、乙两种奖品共花了不超过400元.
2.下列给出的各式中,是二元一次不等式的是( )(1)2x>y.(2)2x>3.(3)2x2-y<0.(4)y=2x+3.(5)3x-2y≤1.(6)3x-y>x2. A.(1) B.(3)(4)C.(1)(5)D.(2)(6)
【解析】选C.(1)(5)符合二元一次不等式的两个特征, (2)中只含有一个未知数,(3)(6)中的最高次数为二次, (4)是一个等式.
3.已知不等式(m2-4m+3)x2+(m-3)x+y+1≤0,m∈R是二元一次不等式,求实数m的值.
【解析】因为(m2-4m+3)x2+(m-3)x+y+1≤0,m∈R是二元一次不等式,所以 所以m=1.
主题2 二元一次不等式表示平面区域1.以二元一次方程x-y-4=0的解为坐标的点表示的图形是什么?它把平面分成几部分?
提示:表示一条直线.如图,它把平面分成3部分,即直线上、左上方区域和右下方区域.
2.分别将点P1,P2,P3,P4的坐标代入x-y-4中,计算其值,可得到一个什么样的结论?
提示:通过代入,计算其值,可知所得值都小于0.
3.根据2中的计算,直线x-y-4=0左上方任意一点的坐标(x,y)都满足一个什么关系式?反之如何?提示:x-y-4<0,反之若x-y-4<0,则以这个不等式的解为坐标的点的集合是直线x-y-4=0左上方的平面区域.
结论:二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式__________表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域.
(2)若二元一次不等式表示的区域不包括边界,则把直线画成_____;若二元一次不等式表示的区域包括边界,则把直线画成_____.
(3)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都_____.所以要确定二元一次不等式表示的平面区域,在直线Ax+By+C=0的_______取任意一个特殊点(x0,y0),判断_________的符号即可.
【拓展延伸】对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
【对点训练】1.下列结论正确的是( )A.原点在区域x+y≥0内B.原点在区域x+y+1<0内C.点(1,0)在区域y>2x内D.点(0,1)在区域x-y+1>0内
【解析】选A.将点的坐标代入二元一次不等式,由二元一次不等式的几何意义得选项A正确.
2.图中阴影部分可用二元一次不等式________来表示.
【解析】由题图可知二元一次方程所示的直线过(3,0),(0,4),故直线方程为4x+3y-12=0,又(0,0)在平面区域内,所以表示阴影部分的二元一次不等式为4x+3y-12≤0.答案:4x+3y-12≤0
类型一 二元一次不等式表示的平面区域【典例1】(1)不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直线x+2y-6=0的( )A.右上方B.左上方C.右下方D.左下方
(2)画出下列二元一次不等式表示的平面区域.①3x+2y+6>0;②y≥3x.
【解题指南】 (1)画出直线x+2y-6=0,利用特殊点判断.(2)先画出对应的二元一次方程代表的直线,再利用特殊点检验不等式所表示的区域.
【解析】(1)选D.画出直线x+2y-6=0,因为原点(0,0)满足x+2y-6<0,所以x+2y-6<0表示的平面区域包括原点(0,0),故不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直线x+2y-6=0的左下方.
(2)①画出直线3x+2y+6=0,因为这条直线上的点不满足3x+2y+6>0,所以画成虚线.
取原点(0,0),代入3x+2y+6.因为3×0+2×0+6=6>0,所以原点在不等式3x+2y+6>0表示的平面区域内,所以不等式3x+2y+6>0表示的平面区域如图①.②画出直线y=3x,取点(1,0),代入y-3x,
因为0-3×1=-3<0,所以(1,0)不在不等式y≥3x表示的平面区域内,所以y≥3x表示的平面区域如图②(包括边界).
【方法总结】判断二元一次不等式所表示区域的方法及注意问题
(1)判断方法①特殊点法作出直线Ax+By+C=0,在直线的一侧任取一点P(x0,y0).若Ax0+By0+C>0,则包括此点P的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域.
②观察法(Ⅰ)先将不等式化为一般形式Ax+By+C>0(或≥0或<0或≤0),其中A≥0.(Ⅱ)当A=0时较易判定:当A≠0时,直线Ax+By+C=0与x轴相交.
(Ⅲ)对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论:
(2)注意问题在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用“直线定界,特殊点定域”的方法画平面区域,先画Ax+By+C=0,取点代入Ax+By+C验证.在取点时,若直线不过原点,一般用“原点定域”;若直线过原点,则可取点(1,0)或(0,1),这样可简化运算.
【跟踪训练】1.不等式2x-y>0表示的平面区域(阴影部分)为( )
【解题指南】先通过边界直线的斜率,排除A,B,再通过点(1,0)代入检验.
【解析】选D.根据二元一次不等式对应的直线方程为y=2x,斜率为2,排除A,B;将点(1,0)代入不等式2x-y>0满足,故表示的平面区域在直线2x-y=0的下方.
2.画出2x-y-3>0表示的平面区域.【解题指南】先画出直线2x-y-3=0,注意画成虚线,再把点(0,0)代入检验,从而确定不等式表示的平面区域.
【解析】所求区域不包含直线,用虚线画出直线l:2x-y-3=0.将原点的坐标(0,0)代入2x-y-3,得2×0-0-3=-3<0,这样,就可以断定不等式2x-y-3>0所表示的区域为不包含原点的那一侧,如图阴影部分.
类型二 已知平面区域写出二元一次不等式【典例2】(1)如图所示的平面区域可用下列哪个不等式表示( )A.x-y+1>0B.x-y+1≥0C.x-y+1<0D.x-y+1≤0
(2)将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.
【解题指南】 先求出边界对应的直线方程,然后根据阴影部分点的坐标满足的二元一次不等式即为所求.
【解析】(1)选B.由直线过(0,1),(-1,0)可知,直线方程为x-y+1=0,由图可知(0,0)在所表示的平面区域内,且所表示区域包括边界.(2)①平面区域的边界为实线,直线方程为y=2,又因为平面区域在直线y=2的下方,所以平面区域满足的不等式是y≤2;
②平面区域的边界为虚线,直线方程为x=-1,又因为平面区域在直线x=-1的右侧,所以平面区域满足的不等式为x>-1;③平面区域的边界为实线,直线方程为3x+4y-12=0,又因为平面区域在直线3x+4y-12=0的左下方,所以平面区域满足的不等式为3x+4y-12≤0.
【方法总结】用不等式表示平面区域的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.
【跟踪训练】1.图中的平面区域(阴影部分),用不等式表示为________.
【解析】直线过(4,0), 两点,所以直线为2x+3y-8=0,则阴影部分表示为2x+3y-8≥0.答案:2x+3y-8≥0
2.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________.
【解析】由截距式可得直线方程为 =1,即y=- x+1.因为0<- ×0+1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y<- x+1,即x+2y-2<0表示.答案:x+2y-2<0
3.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.
【解析】①平面区域的边界线为虚线,方程为x=-2和x=2,所以平面区域满足的不等式是-2
③平面区域的边界线为实线,方程为 =1,即x-y-2=0.因为原点(0,0)在平面区域中且满足不等式x-y-2<0,所以平面区域满足的不等式是x-y-2≤0.
类型三 二元一次不等式表示平面区域的应用【典例3】在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)
【解题指南】在直线上找出与点A(-2,t)横坐标相同的点,再根据题意写出t的范围.
【解析】选B.在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点P(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,如图知,实数t的取值范围是(1,+∞).
【方法总结】利用二元一次不等式对应的平面区域求参数值(范围)的步骤(1)确定位置:根据题意确定点在坐标平面中的位置,从而判断点是否在不等式表示的平面区域内.
(2)找关系:利用点的位置得出含参数的关系式,即关于该参数的不等式.(3)解不等式:由所得到的含参数的不等式,解得参数的取值范围.
【跟踪训练】1.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.
【解析】因为直线2x-3y+6=0的上方区域可以用不等式2x-3y+6<0表示,所以由点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方得-4-3t+6<0,解得t> .答案:
2.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围.【解题指南】求出点P关于原点的对称点坐标,两个点在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,从而符合不等式,可解得b的取值范围.
【解析】点P(1,-2)关于原点对称点P′(-1,2).由题意知 解得
【解析】因为点(m,2)在不等式2x-y+1>0表示的平面区域内,所以2m-2+1>0,所以m> ,因为点(m,2)不在3x-2y-2≥0表示的平面区域内,所以3m-2×2-2<0,所以m<2.综上可知
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