高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式课前预习课件ppt

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主题　基本不等式1.若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab的关系如何?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以对∀a,b∈R, a2+b2≥2ab.
2.上述结论中,“=”何时成立?提示:对于(a-b)2,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时, a2+b2=2ab,等号成立.
3.若把a看作( )2,把b看作( )2,那么a+b与2 的关系如何?提示:所以a+b≥2 .
4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么?提示:对于( )2≥0,当 即a=b时,等号成立,此时a+b=2 .
结论:1.重要不等式当a,b是任意实数时,有a2+b2≥____,当且仅当____时,等号成立.
2.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把______叫做正数a,b的算术平均数,把____叫做正数a,b的几何平均数.
(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 ≤_____,当且仅当____时,等号成立.(3)文字叙述:两个正数的 ___________不大于____________.
【对点训练】1.有下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使 ≥2成立的条件是(　　)　　　　 　　　　　　 A.1B.2C.3D.4
【解析】选C.①ab>0,则 >0和 >0都成立,故①正确;②ab<0,显然不成立;③中a>0,b>0和④中a<0,b<0都可以使 >0和 >0成立.
2.设a,b为正数,且a+b≤4,则(　　)A. ≤1B. ≥2C.ab ≤4D.ab≥8
【解析】选C.因为a,b为正数,且a+b≥2 ,所以ab ≤ ≤4,当且仅当a=b=2时取等号.
3.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为________. 【解析】3x+27y=3x+33y≥2 =2 =6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.答案:6
类型一　基本不等式及其简单应用【典例1】1.设02.给出下面四个推导过程:①因为a,b∈(0,+∞),所以 ②因为x,y∈(0,+∞),所以lg x+lg y≥2
③因为a∈R,a≠0,所以 +a≥2 =4;④因为x,y∈R,xy<0,所以 其中正确的推导过程为(　　)A.①②B.②③C.③④D.①④
【解题指南】1.运用基本不等式证明,也可以用特殊值法排除错误选项.2.注意基本不等式运用的条件,一正二定三相等.
【解析】1.选B.方法一:因为b>a>0,所以 ,2b>b+a,b> ,所以a< 2.选D.从基本不等式成立的条件考虑.①因为a,b∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,所以①的推导过程正确;②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数, y∈(0,1)时,lg y是负数,所以②的推导过程是错误的;
③因为a∈R,a≠0不符合基本不等式的条件,所以 +a≥2 =4是错误的;④由xy<0得 均为负数,但在推导过程中将全体 提出负号后,- 与- 均变为正数,符合基本不等式的条件,所以④正确.
【方法总结】基本不等式应用的注意事项(1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,可考虑利用基本不等式解决,同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,还要注意是否满足条件,即a>0,b>0.
【拓展延伸】基本不等式常见推论(1) (2)当a>0时,a+ ≥2.(3)当ab>0时, ≥2.
(4) (a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).(5)(a1+a2+…+an) ≥n2(a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).
【跟踪训练】1.设f(x)=ln x,0pC.p=rq
【解析】选C.由条件可得p=f( )=ln(ab) = ln(ab)= (ln a+ln b),r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b)=p,由不等式的性质:在02.设a,b,c都是正数,则a+ ,b+ ,c+ 这三个数(　　)A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
【解析】选C.a,b,c都是正数,根据基本不等式可得a+ +b+ +c+ ≥2+2+2=6,若a+ ,b+ ,c+ 都小于2,则与不等式矛盾,因此,至少有一个不小于2;当a+ ,b+ ,c+ 都等于2时,选项A,B错误,都等于3时,选项D错误.
【补偿训练】已知函数f(x)=|lg(x-1)|,若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是________. 
【解析】由f(a)=f(b)得a>1,b>1,且|lg(a-1)|=|lg(b-1)|.由对数函数的性质得,lg(a-1)+lg(b-1)=0,所以(a-1)·(b-1)=1,所以ab=a+b,故a+2b=(a+2b)· (当且仅当 时等号成立).答案:[2 +3,+∞)
类型二　利用基本不等式证明不等式【典例2】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1) ≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【解题指南】(1)利用abc=1将所证不等式可变为证明: a2+b2+c2≥bc+ac+ab,利用基本不等式可证得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,从而得到结论;
(2)利用基本不等式可得(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),再次利用基本不等式可将不等式转化为(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24 ,在取等条件一致的情况下,可得结论.
【解析】(1)因为abc=1,所以 = ·abc=bc+ac+ab，因为2(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等号，所以2(a2+b2+c2)≥2 ,即:a2+b2+c2≥
(2)因为(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),当且仅当a=b=c时取等号，又a+b≥2 ,b+c≥2 ,a+c≥2 (当且仅当a=b=c时等号同时成立)所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3×2 ×2 ×2 =24 又abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【方法总结】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
【跟踪训练】若a,b,c是正实数,且 =1,求证: a+ b+ c≥1.
【证明】a+2b+3c=(a+2b+3c) = =3+2+2+2=9,当且仅当a=2b=3c时,上式取得等号.则有 a+ b+ c≥1.