数学必修51.2 应用举例课前预习课件ppt

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这是一份数学必修51.2 应用举例课前预习课件ppt，共42页。

主题　三角形的面积公式如图,在△ABC中,边BC,CA,AB记为a,b,c,边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc.
1.分别表示出ha,hb,hc的长.提示:在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABD,即ha=c·sin∠ABD,或在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD,即ha=b·sin∠ACD,同理hb=c·sin∠BAE=a·sin∠BCE,hc=a·sin∠CBF=b·sin∠CAF.
2.△ABC的面积如何求?提示:S△ABC= AD·BC= c·sin B·a= ac·sin B,或S△ABC= ab·sin C,或S△ABC= bc·sin A.
【对点训练】已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=3 ,b=4 ,B=2C,则△ABC的面积为(　　)A.20 B.20 C.10 D.10
【解析】选C.由正弦定理得即解得cs C= ,则sin C= ,而cs B=cs 2C=2cs2C-1= ,故sin B=
则sin A=sin(C+B)=sin Ccs B+cs Csin B= 故△ABC的面积为
类型一　三角形面积问题【典例1】(2017·北京高考)在△ABC中,A=60°,c= a.(1)求sin C的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.
【解题指南】(1)在△ABC中,由正弦定理求sin C的值.(2)根据a=7,求出c的值,再由余弦定理求b,即可求得△ABC的面积.
【解析】(1)根据正弦定理所以sin C=
(2)因为a=7,所以c= ×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A得72=b2+32-2b×3× ,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S= bcsin A=
【延伸探究】若将本例中条件“c= a”改为“b+c=11,S△ABC=6 ”,求a的值.
【解析】由S△ABC= bc·sin A= ,所以bc=24,由余弦定理及b+c=11得a2=b2+c2-2bc·cs A=(b+c)2-2bc(1+cs A)=121-2×24× =49,所以a=7.
【方法总结】运用三角形面积公式的关注点(1)利用三角形面积公式解题时,常常要结合三角函数的有关公式.(2)解与三角形面积有关问题,常需要利用正弦定理、余弦定理,解题时要注意发现各元素之间的关系,灵活运用公式.
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.
【跟踪训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (1)求角A的值.(2)若a=6,b=2c,求△ABC的面积.
【解析】(1)由因为所以cs A= .因为A∈(0,π),所以A= .
(2)因为a=6,b=2c,所以a2=b2+c2-2bccs A,整理可得36=4c2+c2-2c2,解得c=2 ,所以S△ABC=
类型二　三角形中的证明问题【典例2】已知四边形OACB中,a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边长,且满足(b+c)cs A=a(2-cs B-cs C).
(1)证明:b+c=2a.(2)若b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=4,求四边形OACB面积的最大值.
【解题指南】(1)由(b+c)cs A=a(2-cs B-cs C)及正弦定理和三角变换可得sin C+sin B=2sin A,再由正弦定理可得结论成立.(2)先证得△ABC为等边三角形,根据S四边形OACB=S△AOB+S△ABC及三角形的面积公式,得到S四边形OACB=8sin ,然后根据θ- 的取值范围可得所求的最大值.
【解析】(1)因为(b+c)cs A=a(2-cs B-cs C),由正弦定理得sin Bcs A+sin Ccs A=2sin A-sin Acs B-sin Acs C,所以cs Asin B+sin Acs B+cs Asin C+sin Acs C=2sin A,
所以sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,所以sin C+sin B=2sin A,由正弦定理得:b+c=2a.
(2)因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.由题意得S四边形OACB=S△AOB+S△ABC= OA·OB·sin θ+ AB2=4sin θ+ (OA2+OB2-2OA·OB·cs θ)=4sin θ-4 cs θ+5
=8sin 因为0<θ<π,所以所以当θ- ,即θ= 时,S四边形OACB有最大值,且最大值为8+5 .
【方法总结】三角形中三角恒等式的证明技巧(1)证明三角形中的恒等式的关键:利用正弦定理和余弦定理以及其他公式,对边角关系进行互化.(2)证明三角形中的恒等式一般思路是:从要证的三角恒等式一端出发,证明其与另一端相等.也可同时证明两端都等于同一个式子.
【跟踪训练】在△ABC中,若a2=b(b+c),求证:A=2B.
【证明】方法一:由余弦定理得:cs B= cs 2B=2cs2B-1=
又cs A= 所以cs A=cs 2B,则A=2B或A+2B=2π,又0方法二:由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccs A,又a2=b(b+c)=b2+bc.所以c2=2bccs A+bc.即c=2bcs A+b.
由正弦定理得:sin C=2sin Bcs A+sin B=sin(A+B),所以2sin Bcs A+sin B=sin Acs B+cs Asin B,即sin(A-B)=sin B,则在△ABC中有A-B=B,所以A=2B.
类型三　三角形中的综合计算问题【典例3】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若 a+b=2c,求sin C.
【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得b2+c2-a=bc,从而得cs A,再由A∈(0,π)可得结果.(2)由正弦定理可得 sin A+sin B=2sin C,再利用sin B=sin(A+C),两角和差正弦公式可得关于sin C和cs C的方程,可求得结果.
【解析】(1)(sin B-sin C)2=sin2B-2sin Bsin C+sin2C=sin2A-sin Bsin C,即:sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C.由正弦定理可得:b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cs A= 因为A∈(0,π),所以A= .
(2)因为 a+b=2c,由正弦定理得: sin A+sin B=2sin C.又sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,A= ,所以 cs C+ sin C=2sin C,整理可得:3sin C- cs C.
因为sin2C+cs2C=1,所以(3sin C- )2=3(1-sin2C),解得:sin C= 因为sin B=2sin C- sin A=2sin C- >0,所以sin C> ,故sin C=
【方法总结】三角形中综合问题的处理策略三角形中的综合问题常涉及正弦定理和余弦定理、三角函数、向量等知识的综合应用.因此,解题时要注意:(1)合理运用正、余弦定理对边角关系进行转换.(2)合理应用三角恒等变形.(3)注意函数、方程思想的应用.
【跟踪训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=4,c=2,则2a+b的取值范围是________.
【解析】因为a2+b2+ab=4,c=2,所以a2+b2+ab=c2,所以所以cs C=- ,又0因此2a+b=2× (2sin A+sin B) 因为0

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