高中1.2 应用举例学案及答案

这是一份高中1.2 应用举例学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，规律方法，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．会运用仰角(或俯角)解决一些底部不可到达的物体的测量高度问题．
2．会运用方位角解决立体几何中的测量角度问题．
【自主预习】
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．
2．视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角. 如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
3．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直.
【互动探究】
运用仰角解决测量高度问题
如图，D，C，B在同一水平线上，DC＝10 m．从D，C两地测得点A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5eq \r(3) m
C．5(eq \r(3)－1)m D．5(eq \r(3)＋1)m
解析：方法一 设AB＝x m，则BC＝x m．
所以BD＝(10＋x)m．
所以tan ∠ADB＝eq \f(AB,DB)＝eq \f(x,10＋x)＝eq \f(\r(3),3)．
解得x＝5(eq \r(3)＋1)．
所以点A离地面的高AB等于5(eq \r(3)＋1)m．
方法二 因为∠ACB＝45°，所以∠ACD＝135°．
所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°．
由正弦定理，得AC＝eq \f(CD,sin ∠CAD)·sin ∠ADC＝eq \f(10,sin 15°)×sin 30°＝eq \f(20,\r(6)－\r(2))(m)．
所以AB＝ACsin 45°＝5(eq \r(3)＋1)m．
答案：D
【规律方法】(1)测量底部可到达的物体高度问题，可直接构造直角三角形求解．
(2)测量底部不可到达的物体高度问题，常用正弦定理和余弦定理计算出物体顶部或底部与一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
1．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图，竖直放置的标杆BC的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，并算出tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
解：由AB＝eq \f(H,tan α)，BD＝eq \f(h,tan β)，AD＝eq \f(H,tan β)及AB＋BD＝AD，得eq \f(H,tan α)＋eq \f(h,tan β)＝eq \f(H,tan β)．
解得H＝eq \f(htan α,tan α－tan β)＝eq \f(4×1.24,1.24－1.20)＝124(m)．
因此，电视塔的高度H是124 m．
运用俯角解决测量高度问题
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD．
解：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，
则eq \f(BC,sinα－β)＝eq \f(AB,sin90°＋β)，
所以AB＝eq \f(BCsin90°＋β,sinα－β)．
在Rt△ABD中，
BD＝ABsin ∠BAD
＝eq \f(BCsin90°＋βsin α,sinα－β)＝eq \f(hsin90°＋βsin α,sinα－β)，
所以CD＝BD－BC＝eq \f(sin90°＋βsin α－sinα－β,sinα－β)h．
【规律方法】利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要对所给的实际背景进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m．
解析：设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点．
由题意可知AC＝eq \f(30,tan 30°)＝30eq \r(3)(m)，
BC＝eq \f(30,tan 45°)＝30(m)，∠ACB＝30°，
AB2＝(30eq \r(3))2＋302－2×30eq \r(3)×30×cs 30°＝900，
所以AB＝30(m)．
答案：30
测量角度问题
如图，一艘海上缉私船在A处发现一艘走私船在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得走私船正沿方位角为105°的方向，以10 n mile/h的速度向前逃窜，缉私船立即以10eq \r(3) n mile/h的速度追截，求缉私船的航向和追上走私船所需的时间．
解：设所需时间为t h，
则AB＝10eq \r(3)t n mile，CB＝10t n mile．
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs ∠ACB．
可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcs 120°．
整理得2t2－t－1＝0．
解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以AB＝10eq \r(3) n mile，BC＝10 n mile．
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin ∠CAB)＝eq \f(AB,sin 120°)．
所以sin ∠CAB＝eq \f(BCsin 120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2)．
所以∠CAB＝30°或∠CAB＝150°(舍去)．
所以缉私船航行的方位角为75°，所需时间为1 h．
【规律方法】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角度和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
3．某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq \r(3)＋1)n mile的海面上有一台风中心，正以每小时10eq \r(2) n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，影响半径为20 n mile，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(eq \r(3)＋1) h后开始持续影响基地2 h．求台风移动的方向．
解：如图，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20 n mile，AC＝20 n mile．
由题意得AB＝20(eq \r(3)＋1)n mile，DC＝20eq \r(2) n mile，BC＝10eq \r(2)(eq \r(3)＋1)n mile．
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°．
在△ABC中，由余弦定理得
cs ∠BAC＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq \f(\r(3),2)．
所以∠BAC＝30°．
又因为B位于A的南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，
所以D位于A的正北方向．又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°．
【课堂练习】
1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析：如图，由题意知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°．
因为AC＝BC，
所以∠ABC＝∠BAC＝50°．
所以α＝60°－50°＝10°．
答案：B
2．一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.(精确到0.1 m)
解析：宽＝eq \f(8 000,tan 30°)－eq \f(8 000,tan 45°)＝5 856.4(m)．
答案：5 856.4
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是__________________．
解析：甲楼的高为20tan 60°＝20×eq \r(3)＝20eq \r(3)(m)，
乙楼的高为20eq \r(3)－20tan 30°＝20eq \r(3)－20×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(40\r(3),3)(m)．
答案：20eq \r(3) m、eq \f(40\r(3),3) m
4．国庆节期间一游客在东湖的游船上仰看空中一飞艇，仰角为15°，又俯看飞艇在湖中的倒影，俯角为45°，已知该游客在船上距湖面的高度为5 m，求飞艇距湖面的高度(不考虑水的折射)．
解：如图，设CF＝x m，
则飞艇距湖面(x＋5)m，
则ED＝(x＋5)m，
所以AF＝BD＝EF＝(x＋10)m．
所以eq \f(x,x＋10)＝tan 15°＝2－eq \r(3)．
所以x＝5(eq \r(3)－1)．
所以CD＝5＋x＝5eq \r(3)(m)．
即飞艇距湖面5eq \r(3) m．