数学必修52.1 数列的概念与简单表示法教学课件ppt

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主题　递推公式1.观察图形,根据下面的说明,回答问题:某剧场有9排座位,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图).
写出前五排座位数,第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗?若能,请写出an与an+1的等量关系.提示:前五排座位数分别为7,9,11,13,15,an与an+1能用等式an+1=an+2表示.
2.观察数列1,3,7,15,31,63,127,…这个数列中的项有规律吗?它们存在怎样的规律?提示:有,首项为1,从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*).
结论:数列递推公式的定义如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项____(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
【对点训练】1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　)A.an+1=an+n(n∈N*)B.an=an-1+n(n∈N*,n≥2)C.an+1=an+(n+1)(n∈N*,n≥2)D.an=an-1+n+2(n∈N*,n≥2)
【解析】选B.由a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,所以an-an-1=n,故an=an-1+n(n∈N*,n≥2).
2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1= an+ ,此数列的第3项是(　　)A.1 B. C. D. 【解析】选C.a1=1,a2= a1+ =1,a3= a2+ = .
3.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=3an-2,则a6=(　　)A.0B.1C.2D.6【解析】选B.因为a1=1,an+1=3an-2,所以a2=3-2=1,以此类推可得a3=3a2-2=1,a4=3a3-2=1,a5=3a4-2=1,a6=3a5-2=1.
类型一　由递推公式求数列的项【典例1】已知数列{an}满足:a1=0,an+1= (n∈N*).(1)写出数列{an}的前5项.(2)归纳猜想出该数列的一个通项公式.
【解题指南】在递推公式中分别令n=1,2,3,4,结合a1=0,即可得数列的前5项.观察前5项的分子分母的变化规律写出其通项公式.
【解析】(1)因为a1=0,an+1= (n∈N*),所以a2= = ,a3= = = ,所以数列{an}的前5项为0, , , , .
(2)由(1)直接观察可以发现a3= = ,a5= = ,这样可知an= (n≥2).当n=1时, =0=a1,所以an= (n∈N*).
【方法总结】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
【跟踪训练】1.数列{an}满足1-an= ,a10= ,则a1=________. 【解析】数列{an}满足1-an= ,a10= ,可得a9=-1,a8=2,a7= ,所以数列的周期为3,a1= a10= .答案:
2.在数列{an}中,已知a1=4,a2=5,且满足an-2an=an-1(n≥3),则a2019=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D.
【解析】选B.由an-2an=an-1(n≥3),可得an= (n≥3).又a1=4,a2=5,所以a3= = ,a4= = ,同理可得a5= ,a6= ,a7=4,a8=5.于是可得数列{an}是周期数列且周期是6.因为2019=6×336+3,所以a2019=a3= .故选B.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),写出该数列的前5项,并写出它的一个通项公式.
【解析】因为a1=1,an=an-1+ (n≥2),所以a2=a1+a3=a2+a4=a3+a5=a4+
故数列前5项分别为:1, 由于故数列{an}的一个通项公式为
类型二　由递推公式求数列的通项公式【典例2】(1)在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则{an}的通项公式为________. (2)(2019·六安高一检测)若数列{an}是正项数列,且 =n2+3n(n∈N*),则an=________. 
(3)设数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),求{an}的通项公式.
【解题指南】(1)将原式an+1= 变为 即 再利用累加法求解.(2)写出n≥2时,前n-1项的和式,相减即得.(3)将原递推公式转化为 (n≥2),然后利用累乘法求解.
【解析】(1)由an+1= ,得 ,即 所以 …以上各式累加得: 即 =n,an= .
(2)数列{an}是正项数列,且 (n∈N*),所以 =4,即a1=16,n≥2时 =(n-1)2+3(n-1)(n∈N*),两式相减得 =2n+2,所以an=4(n+1)2(n≥2)
当n=1时,a1=16适合上式,所以an=4(n+1)2.答案:4(n+1)2
(3)因为a1=1,an= (n≥2),所以 又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an= .
【方法总结】由递推公式求通项公式的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.(2)累乘法:当 =g(n)时,常用an= · ·…· ·a1求通项.
【跟踪训练】已知数列{an}中,a1=2, =3an(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
【解析】由 =3an,得 =3,所以将以上各式相乘得 所以an=a1· (n≥2),
又a1=2,即当n=1时,a1=2×30=2也满足,所以an=2· .
【补偿训练】在数列{an}中,若a1=2且对所有n∈N*满足an+1=an+2,求an.【解析】因为a2=a1+2,a3=a2+2,a4=a3+2,…,an=an-1+2.把以上各式相加得:an=a1+2(n-1)=2+2n-2=2n.