人教版新课标A必修51.2 应用举例导学案及答案

这是一份人教版新课标A必修51.2 应用举例导学案及答案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，规律方法，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问题．
2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．
【自主预习】
1．基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
2．选择基线的原则
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
3．两个角的术语
(1)方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．
4．在距离测量问题中，如果已知构造的三角形的三个角，能否解出三角形的边长？
提示：不能．要解一个三角形，至少需要知道这个三角形的一条边长.
【互动探究】
测量可到达点与不可到达点的距离
如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
所以∠ABD＝45°．
所以AD＝eq \f(ABsin ∠ABD,sin ∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(n mile)．
即A与D间的距离为24 n mile．
【规律方法】求距离问题的注意事项
(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________m．
解析：在△ACD中，tan 30°＝eq \f(CD,AD)；
在△BCD中，tan 75°＝eq \f(CD,DB)．
又AD＋DB＝120 m，
所以AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°．
所以AD＝60eq \r(3) m．故CD＝60 m．
答案：60
测量两个不可到达点间的距离
如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法．
[思路点拨]把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为测量可到达点与不可到达点之间的距离．
解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，并且在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ．
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC＝eq \f(asinγ＋δ,sin[180°－β＋γ＋δ])＝eq \f(asinγ＋δ,sinβ＋γ＋δ)，
BC＝eq \f(asin γ,sin[180°－α＋β＋γ])＝eq \f(asin γ,sinα＋β＋γ)．
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离．
AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BCcs α)．
【规律方法】测量不能到达的两点间的距离的方法
测量不能到达的两点间的距离，解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角度，用正、余弦定理进行计算．
2．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是( )
A．20eq \r(2) m B．20eq \r(3) m
C．40eq \r(2) m D．20eq \r(6) m
解析：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，所以∠CBD＝90°－45°＝∠BCD．
所以BD＝CD＝40 m，BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2)(m)．
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
所以∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°．
由正弦定理，得AC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝20eq \r(2)(m)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs ∠BCA＝(20eq \r(2))2＋(40eq \r(2))2－2×20eq \r(2)×40eq \r(2)cs 60°＝2 400．
所以AB＝20eq \r(6) m．故A，B两点之间的距离为20eq \r(6) m．
答案：D
【课堂练习】
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
解析：根据方向角的概念可知C正确．
答案：C
2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A，B两点的距离为( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D．eq \f(25\r(2),2) m
解析：由题意知∠ABC＝30°．
由正弦定理，得eq \f(AC,sin ∠ABC)＝eq \f(AB,sin ∠ACB)．
所以AB＝eq \f(AC·sin ∠ACB,sin ∠ABC)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．
答案：A
3．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________km．
解析：如图，由题意知∠C＝45°.由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(2,sin 45°).所以AC＝eq \f(2,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)(km)．
答案：eq \r(6)
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则A，C间的距离是多少千米？
解：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π．
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cs (π－D)＝32＋52－2×3×5×cs D．
整理得cs D＝－eq \f(1,2)．
所以AC2＝32＋52－2×3×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝49．
故AC＝7 km．