高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案配套ppt课件

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主题　余弦定理1.如图,设 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如何用a,b表示向量c?向量c的平方是什么?表示为对应的边可以得到什么式子?
提示:由向量减法的三角形法则,得c=b-a,所以|c|2=(b-a)(b-a)=b·b+a·a-2a·b =a2 +b2-2abcs C,所以c2=a2+b2-2abcs C.
2.利用1的结论思考下面的问题:(1)已知三角形的三边a,b,c,如何表示cs C.提示:由1知c2=a2+b2-2abcs C,故cs C=
(2)若C=90°,1的结论还成立吗?如果成立写出该结论,若不成立说明理由.提示:若C=90°,1的结论仍成立,即c2=a2+b2.
【对点训练】1.在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cs B= ,则AC=(　　)　　　　　　　　　A.6B.2 C.3D.4
【解析】选A.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B=16+36-2×4×6× =36.所以AC=6.
2.已知在△ABC中,a=2,b=4,c=5,则cs A=________. 【解析】cs A= 答案:
类型一　利用余弦定理解三角形【典例1】(1)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin B+sin A(sin C-cs C)=0,a= ,c= ,则b=(　　)　　　　　　　　　A. B. C.2D.1
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cs A=- ,则 =(　　)A.6B.5C.4D.3
【解题指南】(1)由sin B+sin A(sin C-cs C)=0,利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得tan A=-1, A=135°,再利用余弦定理解方程求解即可.(2)由正弦定理,将asin A-bsin B=4csin C转化为边之间关系,再由余弦定理求解.
【解析】(1)选D.由sin B+sin A(sin C-cs C)=0得sin(A+C)+sin A(sin C-cs C)=0,即sin Acs C+cs Asin C+sin Asin C-sin Acs C=cs Asin C+sin Asin C=0,sin C≠0,得tan A=-1,A=135°,
因为a= ,c= ,所以a2=b2+c2-2bccs 135°,化为b2+2b-3=0,得b=1.(2)选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得- =cs A= ,所以 =- ,所以 = ,所以 = ×4=6.
【方法总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧(1)已知三角形的两边及夹角解三角形,可以先由余弦定理求出第三条边,再由正弦定理求出一角,最后由A+B+C=180°,求出第三个角.
(2)已知三角形的三边,可由余弦定理求三角形的两个内角,再由A+B+C=180°求出第三个角.上述两种情况,运用余弦定理时,因为是已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理可知,三角形是确定的,因而解唯一.
【跟踪训练】1.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于(　　)A.60°B.45°C.120°D.30°
【解析】选C.因为a2=b2+c2+bc,可得b2+c2-a2=-bc,所以cs A= 因为02.在△ABC中,b=19,c=20,B=60°,那么这样的三角形有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个
【解析】选C.因为在△ABC中,b=19,c=20,B=60°,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得:361=400+a2-2×a×20×cs 60°,得:a2-20a+39=0…(*)因为Δ=202-4×1×39=244>0,且两根之和、两根之积都为正数,
所以方程(*)有两个不相等的正实数根,即有两个边a满足题中的条件.由此可得满足条件的△ABC有两个解.
【补偿训练】已知△ABC的三边长为 　　 解此三角形.
【解析】由余弦定理得cs A= 所以A=60°. 所以B=45°,所以C=180°-A-B=75°.
类型二　利用余弦定理判断三角形形状【典例2】(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b=2ccs A,c=2bcs A,则△ABC的形状为(　　)A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2 ,cs A= ,sin B=2sin C,则△ABC是(　　)A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.形状不确定
【解题指南】(1)利用余弦定理,将cs A用边表示,得出边之间关系,从而判定.(2)由于sin B=2sin C,利用正弦定理可得:b=2c.再利用余弦定理可解得c,b,利用余弦定理可求cs B<0,求得B为钝角即可得解.
【解析】(1)选C.b=2ccs A,b=2c· ,b2=b2+c2-a2,c2=a2,c=a;又因为c=2bcs A,c=2b· ,c2=b2+c2-a2,a2=b2,a=b;所以a=b=c,△ABC为等边三角形.
(2)选B.因为a=2 ,cs A= ,sin B=2sin C,可得:b=2c.所以由a2=b2+c2-2bccs A,可得:8=4c2+c2-3c2,解得c=2,b=4.所以cs B= <0,可得B为钝角,△ABC是钝角三角形.
【方法总结】三角形形状判断的技巧(1)若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理.(2)若式子中含有角的正弦或是边的一次式,则考虑用正弦定理.
【跟踪训练】1.在△ABC中,若ln sin A-ln cs B=ln sin C+ln 2,则△ABC的形状是(　　)A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定
【解析】选B.若ln sin A-ln cs B=ln sin C+ln 2,有ln =ln 2sin C,即sin A=2sin Ccs B,由正弦定理得a=2ccs B,再由余弦定理得a=2c× ,化简可得c=b,则三角形为等腰三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+ bc,且cs C=0,则△ABC是(　　)A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形但不是直角三角形
【解析】选C.由余弦定理,得cs A= 所以A=45°.又cs C=0,所以C=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
类型三　正弦定理、余弦定理的综合应用【典例3】在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长.(2)求sin 2C的值.
【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.(2)先利用正弦定理求出sin C的值,再利用余弦定理求出cs C的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin 2C的值.
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,BC2 = AC2 + AB2-2AC·AB·cs A ,即BC2=32+22-2×3×2×cs 60°,解得BC= .
(2)由正弦定理可知, 即 解得sin C= 由余弦定理可得,cs C= 所以sin 2C=2sin Ccs C= 2×
【延伸探究】1.若本例条件不变,试求cs B的值.【解析】由本例解析(1)知BC= ,故在△ABC中由余弦定理得cs B=
2.若把本例中的A=60°换为A=120°,其他条件不变,则结果又是什么?【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cs A=32+22-2×3×2 cs 120°,解得BC= .
(2)由正弦定理可知 解得sin C= 由余弦定理可得 所以sin 2C=2sin C·cs C=
【方法总结】利用正、余弦定理解决三角形综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的方面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.
(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.
【跟踪训练】1.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若b2=ac,a2-c2=ac-bc,则 =________. 
【解析】因为b2=ac,a2-c2=ac-bc,所以a2-c2=b2-bc,cs A= 因为02.(2019·嘉兴高一检测)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin2A+sin2B-sin2C=- sin Asin B.(1)求角C的大小.(2)若c=2,求 a+b的取值范围.
【解析】(1)由题可得a2+b2-c2=- ab,所以cs C= 因为C∈(0,π),所以C= .
(2)由正弦定理得2R= =4,所以 a+b=2R( sin A+sin B)= 因为A∈ ,所以A+ ∈ ,所以sin 所以 a+b∈(2,2 ).