人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法备课课件ppt

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主题1　一元二次不等式的概念观察下列不等式(1)x2>0. (2)-x2-2x≤0. (3)x2-5x+6>0.
1.以上给出的3个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2.
2.三个不等式的表达形式上有何共同特点?提示:形如ax2+bx+c>0(或≤0);其中a,b,c为常数,且a≠0.
【微思考】1.一元二次不等式ax2+bx+c>0中,a,b,c都不能为零对吗?提示:不对.一元二次不等式ax2+bx+c>0中,a≠0,b,c可以为0.
2.一元二次不等式一定为整式不等式吗?提示:是的,例如x2- +1是分式不等式而不是一元二次不等式.
【对点训练】1.下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a2x2+2≥0B. <3C.-x2+x-m≤0D.x3-2x+1>0
【解析】选C.选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.
2.下面所给关于x的几个不等式: ①3x+4<0;②x2+mx-1>0;③ax2+4x-7>0;④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)A.1个　　 B.2个　　 　C.3个　　 　D.4个【解析】选B.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定①一定不是,③不一定是,②④一定是.
3.已知不等式(m2-4m+3)x2+(m-3)x+1≤0,m∈R是一元二次不等式,求实数m的取值范围.
【解析】因为(m2-4m+3)x2+(m-3)x+1≤0,m∈R是一元二次不等式,所以m2-4m+3≠0,所以m≠1且m≠3.
主题2　一元二次不等式的解法1.方程x2-2x-3=0的根是什么?提示:由x2-2x-3=0,得(x-3)(x+1)=0,所以x=3或x=-1.所以方程x2-2x-3=0的根为3或-1.
2.画出函数y=x2-2x-3的图象,并指出函数的图象与x轴交点的坐标.
提示:函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象如图所示,
由图可知函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).
3.观察图象,试写出不等式x2-2x-3>0和x2-2x-3<0的解集.提示:通过图象可知,x2-2x-3>0的解集为{x|x>3或x<-1};x2-2x-3<0的解集为{x|-1结论:1.二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系
{x|x>x2或x2.用程序框图表示求解一元二次不等式的过程
【微思考】1.若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴无交点,则一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ,对吗?提示:不对.若y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴无交点,则ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R,而ax2+bx+c<0的解集为 .
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数的条件是什么?提示:令f(x)=ax2+bx+c,由题意知f(x)>0恒成立,则应开口向上,与x轴无交点,所以应满足
【对点训练】1.设集合U={x∈N|x2-4x-5≤0},A={1,2,4},则 =(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.{3} B.{0,3,5}C.{3,5}D.{0,3}
【解析】选B.集合U={x∈N|x2-4x-5≤0}={0,1,2,3,4,5},A={1,2,4},所以 ={0,3,5}.
2.若关于x的不等式- x2+2x>mx的解集为{x|0【解析】因为关于x的不等式- x2+2x>mx的解集为{x|0类型一　一元二次不等式的解法【典例1】(1)解下列不等式.①4x2-4x+1>0.②-x2+2x-3>0.③(x-2)2≤2x+11.
(2)(2019·大连高二检测)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是________. 
【解题指南】(1)结合对应二次函数图象,根据判别式进行判断.(2)根据不等式ax-b<0的解集,求得a,b的符号和关系,由此求得不等式(ax+b)(x-3)>0的解集.
【解析】(1)①因为Δ=0,方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2= ,所以,原不等式的解集是 .②整理,得x2-2x+3<0,因为Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,方程x2-2x+3=0无实根,而y=x2-2x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为 .
③因为(x-2)2≤2x+11,所以x2-6x-7≤0,即(x-7)(x+1)≤0,解得-1≤x≤7,所以不等式的解集为[-1,7].
(2)由于不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以a<0且 =1,故a=b<0.所求不等式可化为(-x-1)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)<0,解得-1【方法总结】解一元二次不等式的两种方法(1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);
②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;③由图象得出不等式的解集.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后分解因式,然后转化为一元一次不等式组求解.
【跟踪训练】1.不等式x2+x-12<0的解集为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-∞,-4)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(4,+∞)C.(-4,3) D.(-3,4)【解析】选C.不等式x2+x-12<0可化为(x+4)(x-3)<0,解得-42.一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为 【解析】由题意知 和 是ax2+bx+2=0的两根且a<0,所以 解得 所以a-b=-10.答案:-10
【补偿训练】已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2【解析】因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2所以不等式cx2+bx+a<0化为-6x2-x+1>0,化为6x2+x-1<0,解得 类型二　解含参数的一元二次不等式【典例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
【解题指南】当a=0时,得到一个一元一次不等式,求出不等式的解集即为原不等式的解集;当a≠0时,把原不等式的左边分解因式,然后分4种情况考虑:a小于0,a大于0小于1,a大于1和a等于1时,分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可.
【解析】当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当a≠0时,分解因式a (x-1)<0,当a<0时,原不等式整理得: 即 (x-1)>0,不等式的解集为 ;
当01时, <1,不等式的解集为 ;当a=1时,不等式的解集为 .
【方法总结】解含参数的一元二次不等式的方法(1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数.(2)若判别式不确定,需讨论判别式与0的关系.(3)确定方程无实根时,可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两个根的大小关系,从而写出解集.
【跟踪训练】　解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a∈R).
【解析】ax2+(a-2)x-2=(x+1)(ax-2)≥0.①当a=0时,(x+1)(ax-2)=-2(x+1)≥0⇒x∈(-∞,-1];②当a>0时,(x+1)(ax-2)≥0⇒x∈(-∞,-1]∪ ;③当-2④当a=-2时,(x+1)(ax-2)=-2(x+1)2≥0⇒{x|x=-1};⑤当a<-2时,(x+1)(ax-2)≥0⇒x∈ .
【补偿训练】(2019·六安高一检测)已知函数f(x)=　　　x2-(a+2)x+2a(a∈R).(1)求不等式f(x)<0的解集.(2)若当x∈R时,f(x)≥-4恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)不等式f(x)<0可化为:(x-2)(x-a)<0,①当a=2时,不等式f(x)<0无解;②当a>2时,不等式f(x)<0的解集为{x|2【拓展】函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时,是增函数,若f(1)=0,求不等式 的解集.
【解题指南】由y=f(x)(x≠0)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数知在(-∞,0)上也是增函数,分类讨论转化为普通不等式求解.
【解析】因为y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,所以y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且由f(1)=0,得f(-1)=0,当 >0时,若 =f(1),则 <1,即0< <1,解得 或 .
当 <0时,若 =f(-1),则 <-1,由 <-1得x∈ ,所以原不等式的解集为
【方法总结】解抽象不等式的关键及注意点(1)解抽象不等式的关键是利用单调性,把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.(2)注意点:①题设条件中所给的定义域②灵活应用函数的奇偶性和单调性.
【补偿训练】已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 则f(10x)>0的解集为(　　)A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1-lg 2} D.{x|x<-lg 2}
【解析】选D.由一元二次不等式f(x)<0的解集为 可以设函数解析式为:f(x)=(-x-1) <0,将f(10x)>0代入得(10x+1) <0,由指数函数的值域可得,10x- <0⇒x<-lg 2,则D正确.