高中第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法教案

备课资料

一、备用习题

1.解不等式x+2＞3x 2.

解：原不等式等价于3x 2－x－2＜0,

解方程3x2－x－2=0得两根：，x 2=1.∴原不等式的解集为（，1）.

2.解下列不等式：

（1）2+3x－2x 2＜0；（2）－x 2+2x－3x＞0；（3）x2－4x+4＞0.

解:（1）原不等式等价于2x 2-3x-2＞0.

由2x2－3x－2=0得，x2=2.

∴原不等式的解集是(-∞,)∪(2,+∞).

（2）原不等式等价于:x 2-2x+3＜0.

由Δ=(-2)2-4×1×3＜0，知原不等式解集为.

（3）Δ=(-4)2-4×4=0，方程x2-4x+4=0有等根x1=x2=2，

∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}.

点评:1.要严格按“解法步骤”求解.

2.最后要用集合表示法表出解集.如本例（1）用区间表示出解集；本例（3）用大括号表示解集，

该题的解集也可用区间表为(-∞,2)∪(2,+∞)，但有的同学把第（3）题的解集表示为x≠2，这是错误的.

二、阅读材料

法国数学家韦达

韦达，1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学家，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并作出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.

在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.

韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.他还写下了《数学典则》，1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》.这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学.主要著作还有《论方程的识别与修正》《分析五章》等.韦达的著作以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.

韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.由于韦达作出了许多重要贡献，成为16世纪法国最杰出的数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”.

中国在一元二次方程方面的成就

从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就.

“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是借用几何图形而得到证明.不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年.具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.11世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786~1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了.四元术是天元术发展的必然产物.级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数.14世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录.11世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法.历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.内插法的计算，中国可上溯到6世纪的刘焯，并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.

14世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一.就是到十八九世纪由李锐(1773～1817)，汪莱(1768~1813)到李善兰(1811～1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著.