人教版新课标A必修12.2.1对数与对数运算第1课时学案设计

2．2　对数函数

2．2.1　对数与对数运算

第1课时　对数

授课提示：对应学生用书第42页

[基础认识]

知识点一　对数的概念

　在十六世纪初，随着科学技术的进步，航海家需要计算船舶的位置和航线，天文学家需要处理观测星象时所得的大量数据，商人要计算“驴子打滚”式的复利，而大量的反复计算实在令这些人头痛不已．这些复杂的数据与计算又如何解决呢？然而当时英国的纳贝尔男爵却在指数符号还没被建立前，发明了巧妙的办法，解决了这一问题．

解指数方程：3x＝.可化为3x＝3，所以x＝.你能解3x＝2吗？

提示　不能，因为2难以化为以3为底的指数式．　　　

　知识梳理　1.定义：

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln_N.

知识点二　对数与指数的关系

　知识梳理　1.对数与指数的关系

当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．

2．对数的性质

思考：为什么零和负数没有对数？

提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

[自我检测]

1．若log3x＝3，则x＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．3

C．9  D．27

解析：∵log3x＝3，∴x＝33＝27.

答案：D

2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a＞5或a＜2  B．2＜a＜3或3＜a＜5

C．2＜a＜5  D．3＜a＜4

解析：由

解得2＜a＜3或3＜a＜5.

答案：B

3．ln e＝__________，lg 10＝__________.

解析：∵logaa＝1，∴ln e＝1，lg 10＝1.

答案：1　1

授课提示：对应学生用书第43页

探究一　指数式与对数式的互化

　[阅读教材P63例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)m＝5.73；

(4)log16＝－4；(5)lg0.01＝－2；(6)ln 10＝2.303.

题型：对数与指数互化

[例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；

(4)log32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.

[解析]　(1)log2＝－7.

(2)log327＝a.

(3)lg 0.1＝－1.

(4)－5＝32.

(5)10－3＝0.001.

方法技巧　指数式与对数式互化的方法

将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之．指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．

跟踪探究　1.将下列指数式与对数式互化：

(1)log216＝4；(2)log27＝－3；

(3)logx＝6；(4)43＝64；

(5)3－2＝；(6)－2＝16.

解析：(1)24＝16.

(2)－3＝27.

(3)()6＝x.

(4)log464＝3.

(5)log3＝－2.

(6)log16＝－2.

探究二　对数基本性质的应用

[例2]　求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log(－1)＝x.

[解析]　(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，

∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，

∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)∵＝＝＝－1，

∴log(－1)＝log(－1)(－1)＝1.

方法技巧　对数性质的运用技巧

logaa＝1及loga1＝0是对数计算的两个常用量，可以实现数1,0与对数logaa及loga1的互化．

跟踪探究　2.若lg(ln x)＝1，则x＝__________.

解析：由lg(ln x)＝1＝lg 10，可知ln x＝10，∴x＝e10.

答案：e10

探究三　利用指数与对数的互化求变量的值

　[阅读教材P63例2]求下列各式中x的值：

(1) log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x.

题型：求变量的值

[例3]　求下列各式中x的值：

(1)logx27＝；(2)log2x＝－；

(3)x＝log27；(4)x＝log16.

[解析]　(1)由logx27＝，可得x＝27，

∴x＝27＝(33)＝32＝9.

(2)由log2x＝－，可得x＝2－.

∴x＝＝＝.

(3)由x＝log27，可得27x＝，

∴33x＝3－2，

∴x＝－.

(4)由x＝log16，可得x＝16.

∴2－x＝24，∴x＝－4.

方法技巧　指数与对数互化的本质

指数式ab＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．

跟踪探究　3.求下列各式中x的值：

(1)logx8＝6；(2)x＝log84；

(3)log64x＝－；(4)－ln e3＝x.

解析：(1)∵logx8＝6，∴x6＝8.

又∵x>0，

∴

(2)∵x＝log84，

∴8x＝4，

即23x＝22，

∴3x＝2，∴x＝.

(3)∵log64x＝－，

∴

(4)∵－ln e3＝x，∴ln e3＝－x，

∴e3＝e－x，∴x＝－3.

授课提示：对应学生用书第44页

[课后小结]

1．对数概念的理解

(1)对数是一种数，对数式logaN是一种运算，即已知底数a(a＞0，a≠1)，幂值N，求幂指数的运算，是幂运算的逆运算．

(2)在对数式logaN中，底数a满足a＞0且a≠1，真数N满足N＞0.

(3)对数式与指数式是同一数量关系的两种不同表达形式，其关系如下：

2．指数式与对数式的互化

作为同一数量关系的两种不同表达形式，对数式与指数式可以相互转化，互化关系为：ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)，据此可得对数恒等式alogaN＝N.

[素养培优]

　忽视对数的限制条件致误

对于a＞0且a≠1，下列说法正确的是(　　)

(1)若M＝N，则logaM＝logaN.

(2)若logaM＝logaN，则M＝N.

(3)若logaM2＝logaN2，则M＝N.

(4)若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A．(1)(2)　　　　　　　 B．(3)(4)

C．(2)  D．(2)(3)

易错分析：解答本题有以下两个易错点：一是忽视真数为正数，误认为(1)、(4)正确；二是推导错误，误认为(3)正确．

自我纠正：(1)错误．当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．

(2)正确．设logaM＝logaN＝x，

则有M＝ax，N＝ax，故M＝N.

(3)错误．当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0.

且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.

(4)错误．若M＝N＝0，

则logaM2与logaN2均无意义，

因此logaM2＝logaN2不成立．

所以只有(2)正确．

答案：C