人教版新课标A必修12.2.1对数与对数运算教案

2.2  对数函数

2.2.1  对数与对数运算

整体设计

教学分析

我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.

教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.

2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.

3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.

重点难点

教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.

教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时  对数与对数运算(1)

导入新课

思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？

2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=?

2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.

思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.

推进新课

新知探究

提出问题

(对于课本P572.1.2的例8)

①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.

②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…?

③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？

即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？

④你能否给出一个一般性的结论?

活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.

对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.

对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.

对问题③,定义一种新的运算.

对问题④,借助③,类比到一般的情形.

讨论结果：①如图2-2-1-1.

图2-2-1-1

②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.

③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.

④一般性的结论就是对数的定义:

一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:

x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.

由此得到对数和指数幂之间的关系:

例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01

提出问题

①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?

②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.

③负数与零有没有对数?

④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?

讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;

若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;

若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.

②loga1=0,logaa=1.

因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.

同样易知：logaa=1.

即1的对数等于0,底的对数等于1.

③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.

④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.

因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)

    思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗?

活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.

解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.

例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.

②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.

例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.

应用示例

思路1

例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：

（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;

(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.

活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.

对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.

对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.

对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.

对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.

对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.

对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.

解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;

（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.

    思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?

活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.

解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.

变式训练

课本P64练习  1、2.

例2求下列各式中x的值:

（1）log64x=;（2）logx8=6;

（3）lg100=x;（4）-lne2=x.

活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.

解：（1）因为log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.

（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.

（3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.

（4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.

点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.

变式训练

求下列各式中的x：

①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.

解：①由log4x=,得x=4=2;

②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;

③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.

点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.

思路2

例1以下四个命题中,属于真命题的是（    ）

（1）若log5x=3,则x=15  （2）若log25x=,则x=5  （3）若logx=0,则x=  （4）若log5x=－3,则x=

A.（2）（3）      B.（1）（3）        C.（2）（4）      D.（3）（4）

活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.

对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.

对于（1）因为log5x=3,所以x=53=125,错误;

对于（2）因为log25x=,所以x=25=5,正确;

对于（3）因为logx=0,所以x0=,无解,错误;

对于（4）因为log5x=－3,所以x=5-3=,正确.

总之（2）（4）正确.

答案：C

点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.

例2

对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（    ）

（1）若M=N,则logaM=logaN  （2）若logaM=logaN,则M=N  （3）若logaM2=logaN2,则M=N 

（4）若M=N,则logaM2=logaN2

A.（1）（3）       B.（2）（4）      C.（2）       D.（1）（2）（4）

活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.

回想对数的有关规定.

对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;

对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;

对（3）若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;

对（4）若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.

综上,（2）正确.

答案：C

点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.

例3计算：

(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.

活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.

解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;

(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;

(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,

所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;

(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.

解法二：(1)log927=log933=log99=;

(2)log81=log()16=16;

(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;

(4)log625=log()3=3.

点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.

变式训练

课本P64练习  3、4.

知能训练

1.把下列各题的指数式写成对数式:

(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.

解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;

(6)-2=log3;(7)-2=log16.

2.把下列各题的对数式写成指数式:

(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;

(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;

(9)log2128=7;(10)log327=a.

解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6

=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.

3.求下列各式中x的值:

(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.

解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;

(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;

(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;

(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.

4.(1)求log84的值;

(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;

(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,

所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.

点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.

拓展提升

请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.

课堂小结

(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.

作业

课本P74习题2.2A组  1、2.

【补充作业】

1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.

（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;

（4）()x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne5=x.

解：（1）5=化为对数式是log5=;

（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;

（3）3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;

（4）()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;

（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.000 1=10-4,所以x=-4;

（6）lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.

2.计算的值.

解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.

所以3===.

3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).

解：===N.

设计感想

本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.