高中人教版新课标A2.4 等比数列复习练习题

　等 比 数 列

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于 (　　)

A.16   B.16或-16

C.32   D.32或-32

【解析】选C.由a4=a1q3得q3=8,即q=2,所以a3==32.

2.已知等比数列的公比q=-,则= (　　)

A.   B.   C.2  D.4

【解析】选D.由题意可=====4.

3.(2019·哈尔滨高一检测)数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值是              (　　)

A.1   B.2   C.   D.-1

【解析】选B.数列{an-1}为等比数列⇒==q,

即:λan-2=qan-q,恒成立,可知:⇒λ=2.

4.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于 (　　)

A.4   B.8   C.16   D.32

【解析】选C.因为=a2·a6,所以a2·a6=16.

5.(2019·新乡高二检测)在正项等比数列{an}中,a4,a46为方程x2-100x+9=0的两根,则a10·a25·a40=              (　　)

A.9   B.27   C.64   D.81

【解析】选B.由已知得a4·a46=9=,

因为{an}是正项等比数列,所以 a25=3,

所以a10·a25·a40==27.

6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an,n∈N*,则an= (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选A.因为an+1=an,所以q==.所以an=a1qn-1=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在等比数列{an}中,a2=2,a4=4,则a6=________. 

【解析】设公比为q,由条件知

解得q2=2,

故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8.

答案:8

8.若a1,a2,a3,a4成等比数列,公比为2,则的值为________. 

【解析】由题意q=2,

所以====.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.

求证:{an}是等比数列.

【证明】当n=1时,S1=a1=22-2=2,

当n≥2时,Sn-1=2n-2,

所以Sn-Sn-1=an=2n+1-2n=2n,n=1时满足an=2n.

又==2,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

10.已知{an}是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4=3.

求数列{an}的通项公式.

【解析】方法一:设等比数列{an}的公比为q,

因为a2+a3=4,a1a4=3,

所以

解得或

因为{an}是递增的等比数列,

所以a1=,q=3.

所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.

方法二:设等比数列{an}的公比为q,

因为a2+a3=4,a1a4=a2a3=3,

所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.

解得或

因为{an}是递增的等比数列,

所以a2=1,a3=3,则q=3.

所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-,则公比q= (　　)

A.2   B.-2   C.   D.-

【解题指南】根据已知条件,找出等比数列的首项a1和公比q所满足的等量关系式,两式相除,消元求公比q的值.

【解析】选C.显然q≠1,由已知,

a1+a2=a1+a1q=-1,

a1-a3=a1-a1q2=-,两式相除得

===2,

解得q=.

2.各项不为零的等差数列{an}中,4a3-+4a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= (　　)

A.4   B.8   C.16   D.64

【解析】选D.由等差数列性质可得:4a3-+4a11=4(a3+a11)-=8a7-=0.

又{an}各项不为零,所以a7=8,即b7=8.

由等比数列性质可得:b6b8==64.

3.已知为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=  (　　)

A.7   B.5   C.-5   D.-7

【解析】选D.由题意得

所以或

所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.

4.已知数列是等比数列,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a2+a3+a4=

 (　　)

A.7   B.12   C.14   D.64

【解题指南】先根据已知条件解出公比,再根据等比数列通项公式求结果.

【解析】选C.因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3又因为a1=1所以4q=4+q2,解得q=2,

所以a2+a3+a4=2+22+23=14.

5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a∈R),那么数列{an} (　　)

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.要么是等差数列,要么是等比数列

D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

【解析】选C.当a=1时,该数列的各项为0,此时为等差数列,但不是等比数列;

当a≠1时,由Sn=an-1得,

an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n≥2),此式对n=1也成立,

所以==a(n≥2),此时{an}是等比数列,但不是等差数列.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.(2019·成都高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则该数列的通项公式an=________. 

【解析】由Sn=2an-1得:Sn+1=2an+1-1,

所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an又S1=2a1-1,则a1=1.

由此可得,数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列则an=2n-1.

答案:2n-1

7.在等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg an}的通项公式为________. 

【解析】因为a5=a4q,所以q=2,a1==,

所以an=·=,lg an=(n-3)lg2.

答案:lgan=(n-3)lg2

8.在正项等比数列{an}中,若3a1,a3,2a2成等差数列,则= ________. 

【解析】设正项等比数列{an}的公比为q>0,

因为3a1,a3,2a2成等差数列,

所以2×a3=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q,

所以q2-2q-3=0,又因为q>0,解得q=3,

所以==.

答案:

9.某计算机病毒开机时占据2M内存,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据64 G内存 (1 G=210 M). 

【解析】由已知,每3秒病毒占据的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64G内存时共复制了n次,则2×2n=64×210=216,所以n=15,即开机45秒,该病毒占据64 G内存.

答案:45

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.设{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=4,a3=9.

(1)求{an}的通项公式.

(2)lg a1+lg a2+…+lg an.

【解析】(1)数列{an}是各项均为正数的等比等列,且a1+a2=4,a3=9.

设首项为a1,公比为q,则:,

整理得:4q2-9q-9=0,

解得:q=3或-(负值舍去),

故:a1=1,所以:an=1·3n-1=3n-1.

(2)由于an=3n-1,则:lg a1+lg a2+…+lg an=lg(1·31·32…·3n-1)=lg 31+2+…+(n-1)=lg 3.

11.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5=35,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)求数列的前n项和Tn.

【解析】(1)因为S5=5a3=35,

所以a3=7,

设{an}公差为d,

因为a1,a4,a13成等比数列,

所以=a1a13,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),

解得d=0(舍)或2,

因为a3=a1+2d=7,

所以a1=3,

所以an=2n+1.

(2)由(1)知Sn==n(n+2),

所以==,

所以Tn=(-+-+-+…+-+-)

==-.

12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=,n∈N*.

(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.

(2)求数列{an}的通项公式.

(3)记bn=+,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)①当n=1时,

由a1==,得a1=1;

②当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),

即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7,

由已知a1+t,a2+t,a3+t成等比数列,

所以(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,

当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,

即{an+1}为等比数列成立,

所以实数t的值为1.

(2)由(1)知,当n≥2时,an+1=2(an-1+1),

又因为a1+1=2,

所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,

an+1=2×2n-1=2n,

所以an=2n-1.

(3)由(2)知bn=+===-,

所以Tn=-+-+-+…+-+-=1-.