高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系习题

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

一、基础过关

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是       (　　)

A．异面        B．平行

C．相交        D．以上都有可能

2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有         (　　)

A．∠BAC＝∠B′A′C′

B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°

C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°

D．∠BAC＞∠B′A′C′

3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是  (　　)

A．空间四边形       B．矩形

C．菱形        D．正方形

4．“a、b为异面直线”是指：

①a∩b＝∅，且aD\∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．

上述结论中，正确的是            (　　)

A．①④⑤        B．①③④

C．②④       D．①⑤

5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．

6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；

(2)AD与BC′所成的角为________．

7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，

BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

二、能力提升

9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是

(　　)

A．MN≥(AC＋BD)      B．MN≤(AC＋BD)

C．MN＝(AC＋BD)      D．MN<(AC＋BD)

10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)

A．12对     B．24对    C．36对      D．48对

11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

以上结论中正确的序号为________．

12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

三、探究与拓展

13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

答案

1．D　2．C　3．B　

4．D　5.平行或异面

6．(1)60°　(2)45°

7．(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH綊AD.又BC綊AD，

∴GH綊BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

(2)解　由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，

∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

8．解　(1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，

∴HD綊FB，

∴四边形HFBD为平行四边形，

∴HF∥BD，

∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．

连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，

∴△AFH为等边三角形，

又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.

9．D　10．B　

11．①③

12．(1)证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)解　取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

13．解　如图，取AC的中点P.

连接PM、PN，

则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，

所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．

则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，

若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，

所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．

又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，

所以∠PMN＝60°，

即AB与MN所成的角为60°.

若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，

即AB与MN所成的角为30°.

故直线AB和MN所成的角为60°或30°.