2021学年第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系图文ppt课件

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点、直线、平面之间的位置关系
2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3　空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4　平面与平面之间的位置关系
观察我们的教室，教室的墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯抽象成一条直线，那么日光灯所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？
1．空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有________个公共点；②直线与平面相交——________________公共点；③直线与平面平行——________公共点．直线与平面________或________的情况统称为直线在平面外．[归纳总结]　“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
(2)符号表示：直线l在平面α内，记为__________；直线l与平面α相交于点M，记为______________；直线l与平面α平行，记为__________.(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
2．两个平面之间的位置关系(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——________公共点；②两个平面相交——有________公共直线．(2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为______________.(3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示．
1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(　　)A．0个 　B．1个 　　C．2个 　D．无数个[解析]　∵m∥α，∴m与α没有公共点．
2．直线l与平面α有两个公共点，则(　　)A．l⊂α　B．l∥αC．l与α相交　D．l∈α[解析]　如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内．
3．已知两个不同的平面α、β，若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)A．平行　B．相交　　C．重合　D．不确定[解析]　两个不同的平面若有一个公共点，则这两个平面一定有一条过这个公共点的公共直线．
4．若直线a不在平面α内，则直线a与平面α的公共点的个数为__________.[解析]　当直线a与平面平行时，公共点有0个；当直线a与平面α相交时，公共点有1个．
下列五个结论中正确结论的个数是(　　)①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0　B．1　　C．2　D．3
命题方向1　⇨直线与平面的位置关系
[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B.
『规律方法』　直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
〔跟踪练习1〕在下列结论中，不是公理的是(　　)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线[解析]　由立体几何基本知识知，B为公理2，C为公理1，D为公理3，A不是公理．
已知α，β为平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，下列推理错误的是(　　)A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝直线MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
命题方向2　⇨两个平面的位置关系
[解析]　在选项A中，∵直线a上两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在选项B中，∵不同点M，N分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β＝直线MN，故B正确；在选项C中，∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β，由基本性质3可知α∩β为经过点A的一条直线而不是点A，故α∩β＝A的写法错误，故C错误；在选项D中，由不共线的三个点确定一个平面可知D正确．
『规律方法』　判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
〔跟踪练习2〕如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)A．平行　B．相交C．平行或相交　D．不能确定[解析]　由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．[思路分析]　解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．即先假设原结论不成立，则原结论的反面就成立，然后把原结论的反面和题设条件作为条件进行推理，直到推出一个明显错误的结论．从而肯定原结论正确．
推理证明的一种间接方法——反证法
[解析]　如图，∵a∥b，∴a和b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q，又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
『规律方法』　应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论．
〔跟踪练习3〕如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．[解析]　假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾．∴假设不成立．∴直线a与平面α相交．
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(　　)A．有且只有一个　B．恰有两个C．没有或只有一个　D．有无数个[错解]　如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.
对空间线面位置关系考虑不全面致误
[错因分析]　错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了．[正解]　C[警示]　对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误．
1．圆柱的两个底面的位置关系是(　　)A．相交　B．平行C．平行或异面　D．相交或异面[解析]　圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(　　)A．相交　B．平行　　C．异面　D．平行或异面[解析]　∵a∥α，∴a与α无公共点，又∵b⊂α，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面．
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(　　)A．平行　B．异面　　C．相交　D．平行或异面[解析]　两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平行．
4．过平面α外一点，作直线l∥α，则这样的直线l有________条．[解析]　过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α.