高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试优秀单元测试复习练习题

第三章 函数与方程单元测试卷（基础版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（2020全国高二课时练）以为圆心，4为半径的圆的方程为　　

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】以为圆心，4为半径的圆的方程为：，故选C．

2．（2020福建莆田一中高二月考）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，

点在圆上，排除A，故选C.

3.（2020山东泰安一中高二期中）曲线x2+y2+2x-2y=0关于(　　)

A.直线x=轴对称        B.直线y=-x轴对称

C.点(-2,)中心对称        D.点(-,0)中心对称

【答案】B

【解析】原方程化为(x+)2+(y-)2=4,表示以(-)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.

4．（2020银川一中高二期中）过点的直线平分了圆：的周长，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得圆标准方程是，知其圆心为；直线平分了圆：的周长，则此直线过圆的圆心，于是其斜率为；所以其倾斜角为.故选：D．

5.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)

A.6 B.3 C.2 D.8

【答案】A

【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.

6．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，

∴，，∴，

∴．

7.（贵州遵义四中2019届质检）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切 

C．相离  D．不确定

【答案】A　

【解析】由题意知圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．

8.已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)

A．m∥l，且l与圆相交  B．m⊥l，且l与圆相切

C．m∥l，且l与圆相离  D．m⊥l，且l与圆相离

【答案】C

【解析】因点P在圆内，故有a2＋b2＜r2，直线m是以P为中点的弦所在的直线，所以m⊥OP，所以直线m的斜率km＝－，因此m∥l.又直线l到圆心(0,0)的距离d＝＞＝r，故直线l与圆相离．故选C.

9.（四川绵阳中学2019届模拟）经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)

A.x＋y－5＝0  B.x＋y＋5＝0 

C．2x＋y－5＝0  D．2x＋y＋5＝0

【答案】C　

【解析】 点M(2,1)满足圆x2＋y2＝5，所以点M(2,1)在圆上．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则M(2,1)为切点，切点和圆心连线的斜率为，则切线斜率为－2，切线方程为y－1＝－2(x－2)，整理得2x＋y－5＝0.故选C.

10.(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　 　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

【答案】B

【解析】法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．

∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.

又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝.

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴两圆相交．

法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．

11．（2020上海高二课时练习）若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（    ）．

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定

【答案】A

【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以有，

即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，

所以点在圆外.故选:A．

12．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.

二、填空题  共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__________.

【答案】2

【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.

14.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

15.（湖北襄樊五中2019届模拟）若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝__________.

【答案】1

【解析】 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y＝.又a>0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知＝＝1⇒a＝1.

16.（2020山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m. 

【答案】   2

【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:

由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m.

三、解答题  共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．

因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

18.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；

(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．

因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，

则解得所以C(2,1)，

所以r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将P，Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　　③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，　　④

由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

19. (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

【解析】 (1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，

可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

20.（广西河池高级中学2019届模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

【解析】 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.

(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.

(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.

所以公共弦长为2＝2.

21．（2020·全国高二课时练）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为

（1）求顶点和的坐标；

（2）求外接圆的一般方程.

【解析】（1）由可得顶点,

又因为得， ，所以设的方程为，

将代入得，由可得顶点为

所以和的坐标分别为和

（2）设的外接圆方程为，

将、和三点的坐标分别代入，

得，解得，

所以的外接圆的一般方程为.

22．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线．

（1）判断直线与圆C的位置关系；

（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．

【解析】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，

所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．

(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．

此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，

又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．