高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试习题

第四章　学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．圆x2＋y2＋x－3y－＝0的半径是(　C　)

A．1　　　　　　　　　 B．

C．2  D．2

[解析]　圆x2＋y2＋x－3y－＝0化为标准方程为(x＋)2＋(y－)2＝4，

∴r＝2．

2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　D　)

A．－3或4  B．6或2

C．3或－4  D．6或－2

[解析]　由空间两点间的距离公式得

＝2，解得x＝6或x＝－2．

3．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　B　)

A．外离  B．相交

C．外切  D．内切

[解析]　圆O1(1，0)，r1＝1，圆O2(0，2)，r2＝2，|O1O2|＝＝＜1＋2，且＞2－1，故两圆相交．

4．数轴上三点A，B，C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A点坐标为0，则C点坐标为(　B　)

A．0.5  B．－0.5

C．5.5  D．－5.5

[解析]　由已知得，xB－xA＝2.5，xC－xB＝－3，且xA＝0，∴两式相加得，xC－xA＝－0.5，即xC＝－0.5．

5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　D　)

A．a<－2或a>  B．－<a<2

C．a>1  D．a<1

[解析]　由题意知，a2＋(2a)2－4＝－4a＋4>0．

∴a<1.故选D．

6．已知圆C：x2＋y2－4y＝0，直线l过点P(0，1)，则(　A　)

A．l与C相交  B．l与C相切

C．l与C相离  D．以上三个选项均有可能

[解析]　∵圆C的圆心坐标为(0，2)，

半径r＝2，∴|CP|＝1<2，

∴点P(0，1)在内部，

∴直线l与C相交．

7．以(－2，1)为圆心且与直线x＋y＝3相切的圆的方程为(　D　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝8

[解析]　由所求的圆与直线x＋y－3＝0相切，∴圆心(－2，1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2，

∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝8．

8．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　C　)

A．x2＋y2－2x＋4y＝0  B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0  D．x2＋y2－2x－4y＝0

[解析]　由(a－1)x－y＋a＋1＝0得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，

所以直线恒过定点(－1，2)，

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，

即x2＋y2＋2x－4y＝0．

9．已知圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线l的方程为3x－4y－12＝0，在圆C上到直线l的距离为1的点有几个(　B　)

A．4  B．3

C．2  D．1

[解析]　圆心C(2，1)，半径r＝3，

圆心C到直线3x－4y－12＝0的距离d＝＝2，

即r－d＝1．

∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个．

10．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝(　B　)

A．  B．2

C．1  D．3

[解析]　依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝1×cos45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2．

11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　B　)

A．6  B．4

C．3  D．2

[解析]　|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4．

12．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于(　C　)

A．1  B．2

C．0  D．－1

[解析]　如图，由题意可知平行四边形OAMB为菱形，

又∵OA＝OM，∴△AOM为正三角形．

又OA＝2，∴OC＝1，且OC⊥AB．

∴＝1，∴k＝0．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知点A(1，2，3)，B(2，－1，4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__(0，－，0)__．

[解析]　设点P(0，b，0)，则

＝，解得b＝－．

14．设O为原点，点M在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上运动，则|OM|的最大值为__6__．

[解析]　圆心C的坐标为(3，4)，

∴|OC|＝＝5，

∴|OM|max＝5＋1＝6．

15．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝____．

[解析]　点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线．

∴k＝－＝－＝．

16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2__．

[解析]　直mx－y－2m－1＝0可化为m(x－2)＋(－y－1)＝0，

由，得．

∴直线过定点P(2，－1)．以点C(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0相切的所有圆中，最大的半径为|PC|＝＝，

故圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知三角形的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．

证明：△ABC为等腰直角三角形．

[解析]　|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

|BC|＝＝2．

∴|AB|＝|AC|，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

∴△ABC为等腰直角三角形．

18．(本小题满分12分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆．

(1)求实数t的取值范围；

(2)求该圆的半径r的取值范围．

[解析]　(1)∵方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆，

∴4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，

即7t2－6t－1<0，解得－<t<1．

即实数t的取值范围为(－，1)．

(2)r2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)

＝－7t2＋6t＋1

＝－7(t－)2＋

∴r2∈(0，]，∴r∈(0，]．

即r的取值范围为(0，]．

19．(本小题满分12分)已知圆C经过P(－3，－3)，Q(2，2)两点，且圆心C在x轴上．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

[解析]　(1)设圆心C(c，0)，则R2＝(c＋3)2＋9＝(c－2)2＋4，则c＝－1，R2＝13圆C方程：(x＋1)2＋y2＝13．

(2)由于kPQ＝＝1，且l∥PQ，设l：y＝x＋b，则线段AB的中垂线(过圆心C)为：x＋y＋1＝0，则线段AB中点⇒，以线段AB为直径的圆半径r2＝()2＝13－()2＝13－，则以线段AB为直径的圆方程为：(x＋)2＋(y－)2＝13－，又由题意知过原点，

则(0＋)2＋(0－)2＝13－，则b＝4或－3，

所以直线l：x－y＋4＝0或x－y－3＝0．

20．(本小题满分12分)直线l经过两点(2，1)，(6，3)．

(1)求直线l的方程；

(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2，0)点，求圆C的方程．

[解析]　(1)直线l的斜率k＝＝，

∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，

即x－2y＝0．

(2)由题意可设圆心坐标为(2a，a)，

∵圆C与x轴相切于(2，0)点，

∴圆心在直线x＝2上，

∴a＝1．

∴圆心坐标为(2，1)，半径r＝1．

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．

21．(本小题满分12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．

[解析]　以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y＝－(x－300)(x≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x2＋y2＝2502内，设直线与圆交于C，D两点，则|CA|＝|AD|＝250，所以台风中心到达C时，开始受影响该市，中心移至点D时，影响结束，作AH⊥CD于点H，则|AH|＝＝150，|CD|＝2＝400，∴t＝＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．

22．(本小题满分12分)如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

[解析]　    (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0．

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1．

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3 ＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，

则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3．

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤，

所以点C的横坐标a的取值范围为[0，]．