数学必修24.1 圆的方程精品当堂达标检测题

突破4.1  圆的方程课时训练

【基础巩固】

1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)

A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2

C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2

【答案】C　

【解析】设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C.

2.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A(2，－1，－3)，点A关于x轴的对称点为点B，则|AB|的值为(　　)

A．4  B．6    C.  D．2

【答案】D　

【解析】由题意可知点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,1,3)，所以|AB|＝＝2.故选D.

3．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圆心位于(　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】因为直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，所以，因为圆心，所以圆心位于第二象限，选B.

4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】设圆心，则，化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.

5.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，

圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，

所以，即的最大值为，最小值为。故选：.

6．（2020浙江丽水高二期末）“”是“为圆方程”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.

7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．

因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；

(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．

因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，

则解得所以C(2,1)，

所以r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将P，Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　　③

设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，　　④

由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

【能力提升】

9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.

【答案】； .   

【解析】，，设，由，得，

整理得：；以为直径的圆的方程为，

联立，解得.即点的纵坐标的绝对值为.

此时的面积为.

10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．

(1)求m＋2n的最大值；

(2)求的最大值和最小值．

【解析】将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2，7)，半径r＝2.

(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－m＋在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．所以＝2，所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，所以m＋2n的最大值为16＋2.

(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大或最小值，所以＝2，解得k＝2＋或k＝2－.所以的最大值为2＋，最小值为2－.

11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．

（1）求圆M的方程；

（2）当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由．

【解析】 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由

解得x=0,y=-3.

∴圆M过定点(0,-3).

12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.

（1）求AD边所在直线的方程；

（2）求矩形ABCD外接圆的方程.

【解析】 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，

∴直线AD的斜率为－3．

又∵点T(－1,1)在直线AD上，

∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．

(2)由,得,

∴点A的坐标为(0，－2)，

∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，

∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝.

∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．

【高考真题】

13．（2019·北京高考）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

【答案】(x-1)2+y2=4.

【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，

以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

14.（2019·浙江高考）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.

【答案】       

【解析】可知，把代入得，此时.

15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

【答案】

【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：

，解得：，则圆的方程为.

16.（2017·天津高考）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________ .

【答案】

【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，

，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.

17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，

解得k＝－1(舍去)，k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

18. 直线与圆交于两点，则________．

【答案】

【解析】根据题意，圆的方程可化为，

所以圆的圆心为，且半径是，

根据点到直线的距离公式可以求得，

结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.

19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

【答案】x2＋y2－2x＝0

【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将已知三点的坐标代入方程可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　 　)

A．－　　　　　　　　　 B．－

C．   D．2

【答案】A

【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－，故选A．

21．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝　.

【答案】2＋y2＝.

【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0，－2)．易知线段AB的垂直平分线的方程为2x－y－3＝0，令y＝0，得x＝，所以圆心坐标为，则半径r＝4－＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.