高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试课后练习题

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(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3

D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9

【解析】　由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.

【答案】　D

2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则(　　)

A．a2＋b2＝0

B．a2＋b2＝r2

C．a2＋b2＋r2＝0

D．a＝0，b＝0

【解析】　由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.

【答案】　B

3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是(　　)

A．1 B．4

C．5 D．6

【解析】　圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.

【答案】　B

4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．

【答案】　D

5．(2016·兰州高一检测)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x－1)2＋(y－2)2＝5

【解析】　直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.

由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

【答案】　C

二、填空题

6．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．

【解析】　∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－.

【答案】　a>或a<－

7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．

【解析】　圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.

【答案】　1＋

三、解答题

8．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程.

 【导学号：09960131】

【解】　法一：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

∵A，B∈圆C，C∈l，

∴解得

故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.

法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，

∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，

∴圆心为C(a,5－2a)．

由圆的定义得|AC|＝|BC|，

即

＝.

解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.

故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.

9．求圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．

【解】　圆2＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，

∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，

∵解得

∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.

∴对称圆的方程是(x＋2)2＋2＝.

[能力提升]

10．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)

A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)

C.，4－   D.(＋2)，(－2)

【解析】　点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，选B.

【答案】　B

11．设P(0,0)，Q(5,0)，R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆的方程.

 【导学号：09960132】

【解】　|PQ|＝5，|PR|＝12，|QR|＝13，

∴|PQ|2＋|PR|2＝|QR|2，

∴△PQR为直角三角形，且∠P为直角，

∴内切圆的半径r1＝＝2，

圆心为C1(2，－2)．

∴内切圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.

∵外接圆的半径r2＝，

圆心为C2，

∴外接圆的方程为

2＋(y＋6)2＝.