人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试教案

章末整合提升

专题一　⇨圆的方程问题

1．关于求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求圆心和半径，但基本方法是以待定系数法为主，在设方程时应根据条件选择使用标准方程还是一般方程，如果题目给出圆心坐标等关系，则采用标准方程；如果已知圆上多个点的坐标，则采用一般方程．

2．另外注意，用动点轨迹的方法求圆的方程时，除定义外还有其他等量关系，如动点到两定点连线互相垂直、动点到两定点的距离的比是常数等．

典例1 有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程．

[解析]　解法一：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2

则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得

，解得．

所以圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝．

解法二：设圆的一般方程求解．

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3，6)，B(5，2)在圆上，得．解得．

所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0．

解法三：由题意可设所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5，2)，将坐标(5，2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0．

专题二　⇨直线与圆的位置关系问题　　

讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直线与圆相交求弦长时，利用公式()2＋d2＝r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用．

典例2 已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2，2)和原点O．

(1)求圆C的方程；

(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1，0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．

[解析]　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0，

过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)．

由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，

解得a＝－2．

∵圆心C(－2，0)，半径r＝2，

∴圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4．

(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

∴l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，

l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0．

由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，

∵＝，

解得k＝±1，

∴直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0．

[规律总结]　直线和二次曲线相交，所得弦的弦长是|x1－x2|或|y1－y2|，这对直线和圆相交也成立，但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求得．

专题三　⇨与圆有关的最值问题　　

与圆有关的最值问题包括：(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；(3)已知点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①mx＋ny，②，③(x－m)2＋(y－n)2等式子的最值．

一般地，形如z＝mx＋ny的最值问题，可以转化为动直线的截距的最值问题；形如k＝的最值问题，可以转化为动直线的斜率的最值问题；形如d＝(x－m)2＋(y－n)2的最值问题，可以转化为两点间的距离的平方的最值问题．

典例3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

[解析]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为的圆．

设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝3相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有＝，解得k＝±故的最大值为，最小值为－．

(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±．故(y－x)max＝－2＋，(y－x)min＝－2－．

(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝7＋4，(x2＋y2)min＝7－4．

专题四　⇨圆系方程问题　　

(1)设两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过圆C1、圆C2两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0．(其中λ≠－1，不包括圆C2)．

(2)当λ＝－1时，便可得两圆的公共弦所在直线方程，灵活运用圆系方程和两圆的公共弦所在直线方程，可使很多问题得以简便解答．

典例4 已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过圆C1和C2的交点且和直线l相切的圆的方程．

[解析]　由圆系方程，设所求圆的方程为x2＋y2－4＋m(x2＋y2－2x－4y＋4)＝0，

圆心为(，)，

由＝，解得m＝1，

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－2y＝0．

专题五　⇨数学思想方法　　

函数与方程的思想就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，数形结合思想就是在研究解析几何问题时，时刻牢记通过坐标法，可以将数与形相互转化，借助代数式的几何意义，用几何图形的直观性帮助分析解决问题．

典例5 求圆心在圆(x－)2＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．

[解析]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

∵圆(x－)2＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，

∴a>－．∴r＝a＋，r＝|b|．

又圆心(a，b)在圆(x－)2＋y2＝2上，

∴(a－)2＋b2＝2，

∴，解得．

∴所求圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1或(x－)2＋(y＋1)2＝1．

『规律方法』　数学问题的解答离不开转化与化归，所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得以解决的方法．一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

典例6 方程＝k(x－3)＋4有两个不同的解时，实数k的取值范围是(　D　)

A．(0，)　　　　　 B．(，＋∞)

C．(，)  D．(，]

[解析]　利用转化与化归的思想将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用图象形结合的思想求解．

令y＝，显然y2＝9－x2(y≥0)，表示半圆，直线y＝k(x－3)＋4过定点(3，4)，如图所示．当直线y＝k(x－3)＋4与半圆y＝有两个交点时，kMD<k≤kMA，因为直线kx－y－3k＋4＝0，圆心到直线的距离d＝，所以由d＝3，解得kMD＝，又kMA＝，所以<k≤，故应选D．