高中数学必备考试技能模板六:解三角形
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模板 构建 | 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下: |
典型 例题 | (2020·安徽涡阳县第九中学高三三模)已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,S△ABC表示△ABC的面积,且有b(asinA+bsinB)=4sinB·S△ABC+bcsinC,若c=,则△ABC的外接圆半径为_____________. |
试题 解析 | 因为, 故, 即,即, 故, 故,则的外接圆半径为,故答案为. |
题后 反思 | 本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用,属于难题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径. |
针对训练*举一反三 | |
1.(2020·陕西省白水中学高三三模)的内角,,的对边分别为,,,已知,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中,由正弦定理及, 得, ∴, 又,∴; 由正弦定理及,得, 又由余弦定理得, 所以,得.故选:A 2.(2020·湖南省高三三模)在锐角中,角的对边分别为,若,则角的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】, 由正弦定理可得: , 或 ,或(舍). 是锐角三角形, ,且,.故选:A. 3.(2020·陕西省榆林中学高三三模)已知正方形的边长为,为内一点,满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知正方形的边长为, 如图所示:
在中,由正弦定理得, 所以, 在中,由余弦定理得, ∴为等腰三角形,.故选:D 4.(2020·湖北省高三二模)如图所示,在由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中,设,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图建立直角坐标系, 由题意易知≌,则,, 不妨设,,则,, 所以,, 在中,由余弦定理可得, 所以解得,, 则即, 所以, 所以点即, 所以, 设,则,解得, 所以.故选:D. 5.(2020·安徽省高三三模)已知椭圆的离心率为,左,右焦点分别为,,过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P,若为等腰三角形,则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点在第一象限,所以, 因为,所以, 当时,满足, , 所以, 所以, 所以直线的斜率为, 当时,,不符合题意. 综上所以直线的斜率为.故选:A 6.(2020·全国高三二模)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得, 即,即, 因为,所以, 由余弦定理,所以, 由的面积公式得 故选:A 7.(2020·湖北省高三二模)设锐角△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】∵(acosB+bcosA)=2csinC, 由正弦定理可得,(sinAcosB+sinBcosA)=2sinCsinC, 即sin(A+B)=2sinCsinCsinC, 所以sinC, ∵C为锐角,则C, 由题意可得,,故, 由正弦定理可得,, 所以csinB.故答案为:() 8.(2020·陕西省安康中学高三三模)在中,角,,的对边分别为,,,且,,则的面积的最大值是________. 【答案】 【解析】由及正弦定理, 得,显然, 所以, 即,得. 又,所以. 由余弦定理,,得, 则, 所以,当且仅当时取等号, 所以的面积:, 故的面积的最大值是. 故答案为: 9.(2020·江苏省高三二模)已知在锐角中,角的对边分别为.若,则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】,由正弦定理可得:, , ,, , , , 为锐角三角形,,, (当且仅当,即时取等号), 的最小值为.故答案为:. 10.(2020·山东省山东师范大学附中高三二模)在△ABC中,设角A,B,C对应的边分别为,记△ABC的面积为S,且,则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题知, 整理得, 因为, 代入整理得, 令,有, 所以,所以的最大值为.故答案为: |