模板五：　三角函数的图象变换高中数学必备考试技能

模板五：　三角函数的图象变换

模板

构建

三角函数图象变换的主要类型:在x轴方向上的左、右平移变换,在y轴方向上的上、下平移变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:

典型

例题

（2020·河北省高三三模）将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则______.

试题

解析

将函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.

∴，故答案为：.

题后

反思

本题考查函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.

针对训练*举一反三

1．（2020·宁夏回族自治区高三三模）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵函数，

∴向左平移个单位后的解析式，

化简得，要求该函数的增区间，只需

，

解得．故选：A．

2．（2020·湖南省湖南师大附中高三三模）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.

3．（2020·广东省高三三模）已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有个零点

【答案】C

【解析】最小正周期是，

它的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，

为奇函数，则，

，，

，

由得，

则的图象不关于对称，故选项A错误；

由得，

则的图象不关于对称，故选项B错误；

由，得，

则的单调递减区间为

取，得区间，

由，知选项C正确；

函数的零点为，

则函数在上有和两个零点，故选项D错误.故选：C.

4．（2020·梅河口市第五中学高三三模）已知函数，相邻两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【解析】函数相邻两个对称中心之间的距离为，，即，，，

函数的图象向左平移个单位长度得到：，

图象关于轴对称，，

解得：，又，，，

当时，，，

，在上的最大值为.故选：.

5．（2020·重庆市云阳江口中学校高三三模）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，
则平移后图象对应的函数解析式为

令，求得，可得平移后函数的图象的对称轴为，故选A．

6．（2020·北京高三二模）若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】向右平移个单位得：，

当时，，

在上单调递增，，解得：，

的最大值为.故选：.

7．（2020·湖南省高三二模）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，即，
若成立，即，
即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，
不妨设，
则，
得，
则，
∵，
∴当时，，
当时，，
，
则或，
即或（舍），
即，
由，
得，
当时，对称轴方程为.故选：D.

8．（2020·河南省高三二模）已知函数（），当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移（）个单位后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为________.

【答案】

【解析】，，，

，，

，，，

将右移个单位得：，

关于轴对称，，，

又，.故答案为：.

9．（2020·甘肃省高三二模）已知函数（，）的部分图象如图所示，其中是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为________.

【答案】（）

【解析】依题意，，

，即，故，；

将代入中，可知，，

故，；

不妨设，故函数；

将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，

得到，再向右平移个单位长度，

得到；

令（），

解得（），

故函数的单调递增区间为（）.

故答案为：（）.

10．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高二二模）将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为__________.

【答案】

【解析】函数的图象向左平移个长度得，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数

，若对任意的均有成立，则有

，得到

，化简得，又由，得到

成立,则的最小值为.