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    高中数学必备考试技能模板10 简单的线性规划问题
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    高中数学必备考试技能模板10 简单的线性规划问题

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    模板十: 简单的线性规划问题

    模板

    构建

    线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:

    典型

    例题

    2020·新疆维吾尔自治区高三三模)已知变量xy满足约束条件的最大值为(  )

    A1 B2 C3 D4

    试题

    解析

    画出二元一次不等式所示的可行域,目标函数为截距型,,可知截距越大值越大,根据图象得出最优解为,则的最大值为2,选B.

    题后

    反思

    本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式转化为(或),取下方,取上方,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

    针对训练*举一反三

     

    1.(2020·浙江省高三二模)若实数xy满足约束条件,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由题意画出可行域,如图所示,

    ,转化可得

    数形结合可得,当直线分别过点、点时,取最小值和最大值,

    可得点,由可得点

    所以.

    所以的取值范围是.故选:A.

    2.(2020·江西省高三三模)若点在不等式组表示的平面区域内,则实数的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】由题意,作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,其中

    表示定点连线的斜率,

    显然,故,故选:C

    3.(2020·湖南省长郡中学高三三模)已知实数满足约束条件,其中,若的最大值为40,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】可行域如图,设

    由图可知,最远,则 为最优解,

    ,解得(舍去) .

    故选:C.

    4.(2020·湖南省高三三模)已知在关于xy的不等式组(其中)所表示的平面区域内,存在点,满足,则实数a的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】由条件可得可行域,如图所示,

    ,得.

    因为直线与直线垂直,所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可,即,解得

    时恒存在点满足题意,故实数a的取值范围故选:D

    5.(2020·武汉外国语学校高三三模)已知实数满足,则的最小值为(    )

    A B1 C2 D3

    【答案】D

    【解析】作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.

    ,则

    由指数函数的单调性可知,当取得最小值时,目标函数取得最小值.

    平移直线,可知当其经过可行域内的点时,取得最小值.

    联立,则,故.

    故选:D

    6.(2020·全国高三二模)若满足约束条件,则的最大值为(   

    A2 B C D3

    【答案】C

    【解析】由线性约束条件,得到图中所在的区域,在图中做出直线

    可以看出三角形区域的所有点都在直线的同一侧,

    所以当直线平移经过点时,取得最大值.

    解得

    代入,得.故选:C.

    7.(2020·河南省实验中学高三二模)设满足约束条件的最小值为7,则_________.

    【答案】3

    【解析】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点

    可得,当时显然不满足题意;

    时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得(舍);

    时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;

    时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.

    8.(2020·江苏省高三二模)在平面直角坐标系中,已知圆,点,过圆外一点作圆的切线,切点为.,则的取值范围是__________.

    【答案】

    【解析】由,即,所以

    化简得,

    所以点在圆外且在圆内(含圆上).

    ,易知大圆圆心到直线的距离

    所以,所以当时,有

    结合图形可知,

    时,有

    结合图形可知,.

    综上所述,的取值范围是.

    故答案为:

    9.(2020·宁夏回族自治区高三二模)若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________

    【答案】12

    【解析】根据约束条件画出可行域,如下图,由,解得

    目标函数,当过点时,有最大值,且最大值为

    故答案为:

    10.(2020·陕西省榆林中学高三三模)设实数满足不等式,当时取得最小值时,直线与以为圆心的圆相切,则圆的面积为________

    【答案】

    【解析】由实数满足不等式,作出可行域如图所示阴影部分,

    变形为,平移直线

    当直线过点时,在y轴上的截距最小,此时,取得最小值

    直线方程为

    圆心到直线的距离为:

    所以圆的面积为.故答案为:

     

     

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