高中数学必备考试技能模板三：　函数的零点问题

模板三：　函数的零点问题

模板

构建

利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:

典型

例题

（2020·湖北省高三二模）若函数在区间内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

试题

解析

令，即，分离参数可得，令，则，令，则，当时，所以当时，所以当时，所以函数在上单调递减，所以当时，，即，又函数在区间内有且仅有一个零点，所以，故实数的取值范围是，故选D．

题后

反思

本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于导函数与0的关系需要进一步对导函数再次进行求导.

题后

反思

本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于导函数与0的关系需要进一步对导函数再次进行求导.

针对训练*举一反三

1．（2020·北京首都师大二附高三三模）已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，，故选：B．

2．（2020·宁夏回族自治区高三二模）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】有四个不同的零点，，，

就是图象交点横坐标，

作出的函数图象如图所示：

由图象知，

，

∴.故的值是-4.故选：A.

3．（2020·内蒙古自治区高三二模）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设 ，则有且只有一个实数根.

当 时，当 时， ，由即，解得，

结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；

当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；

当 时，当 时，，此时 最小值为 ，

结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .

综上所述： 或.故选:A.

4．（2020·湖南省高三三模）已知函数在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间上存在，满足；②在区间有且仅有1个最大值点；③在区间上单调递增；④的取值范围是，其中所有正确结论的编号是(    )

A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④

【答案】B

【解析】，，

令，则，

由题意在上只能有两解和，

，（*）

因为上必有，

故在上存在满足，①成立；

开对应的（显然在上）一定是最大值点，

因对应的值有可能在上，故②结论错误；

解（*）得，所以④成立；

当时，，

由于，故，

此时是增函数，从而在上单调递增. 所以③成立

综上，①③④成立，故选：B.

5．（2020·全国高三二模）已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，

，，，

，

若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，

所以当时，，

在有且仅有5个零点， ，

.故选：A.

6．（2020·浙江省高三二模）已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（　　）

A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个

B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个

C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个

D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个

【答案】B

【解析】令，则，

当时， 若，则或，即或，

即当，时，不是有且只有1个零点，故A错误；

当时，时，可得或，可得的个数为个，即B正确；

当，或时，由，且，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．

7．（2020·湖北省高三二模）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ）

A．9 B．10 C．18 D．20

【答案】B

【解析】函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，

由f（x）＝f （2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，

∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.

又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，

g（x），

作出函数f（x）与g（x）的图象如图：

由图可知，两函数图象共10个交点，

即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.故选：B.

8．（2020·江苏省高三三模）设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a的取值范围是_______.

【答案】(﹣2，0]

【解析】假设既是的零点，也是的零点，

则，，即，则b＝0，

∴，

令，解得，，

∴，解得或，

①当a＝0时，符合题意；

②当a≠0时，方程无解，即方程无解，

∴，解得，

综上所述，﹣2＜a≤0.故答案为：

9．（2020·宁夏回族自治区高三二模）已知是奇函数并且是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则函数的最小值为________.

【答案】5

【解析】由题, 只有一个零点,故,又是奇函数并且是R上的单调函数,

故,仅有一个零点.

故.

又,故,当且仅当时取得等号.故答案为：5

10．（2020·江苏省高三二模）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

由题得函数的图象和直线有六个交点.显然有.

,（），

所以函数在单调递减，在单调递增，且.

由题得，

三点的高度应满足或,

所以或，

因为

所以或，

综合得.故答案为：