模板十二：空间中的平行与垂直高中数学必备考试技能

模板十二：空间中的平行与垂直

模板

构建

证明空间中的平行与垂直的步骤如下:

典型

例题

（2020·海南枫叶国际学校高三三模）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

试题

解析

（1）证明：连接、，，

在中，是的中点，是的中点，

∴，

又∵平面，平面．

∴平面．

（2）∵底面，底面

，

又∵，且，平面，平面

∴平面，而平面，

∴平面平面

题后

反思

本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力．

针对训练*举一反三

1．（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分别是棱，的中点.求证：

（1）∥平面；

（2）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（1）在中，，分别是棱，的中点，

所以∥.

又在三棱柱中，∥，

所以∥.

又因为平面，平面，

所以∥平面.

（2）因为侧面底面，侧面底面，

，平面，

所以平面.

又因为平面，所以.

2．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三三模）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.

求证：（1）底面；

（2）平面；

（3）平面平面.

【答案】(1)证明见解析.(2) 证明见解析.(3) 证明见解析.

【解析】（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

3．（2020·双峰县第一中学高三二模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.

（1）证明：∥平面；

（2）证明：平面.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）设与相交于，连接，由于是中点，是中点，所以是三角形的中位线，所以，而平面，平面，所以∥平面.

（2）由于底面，所以，由于，所以平面，所以.由于且是中点，所以，而，所以平面，所以.依题意，，所以平面.

4．（2020·全国高三二模）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析

【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．

5．（2020·江苏省高三二模）在三棱柱中，，，且，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）连接，交于点，连接．

在三棱柱中，四边形是平行四边形，

因为，

所以是的中点，所以．

又面，面面．

所以平面．

（2）取的中点，连接、．

囚为，．所以是正三角形，．

因为是的中点，所以．

因为，是的中点，所以．

又，，面，

所以面．

因为面，所以．

6．（2020·安徽省高三二模）如图1所示，在等腰梯形中，，点为的中点.将沿折起，使点到达的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为棱的中点.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）在平面图中，

因为且，

所以四边形是平行四边形；

在立体图中，

连接，交于点，连接，所以点是的中点，又因为点为棱的中点，

所以，因为平面，平面，

所以平面；

（2）在平面图中，

因为是平行四边形，所以，因为四边形是等腰梯形，

所以，所以，因为，所以；

在立体图中，，

又平面平面，且平面平面，平面

所以平面，

由（1）知，所以平面，

在等腰直角三角形中，因为，所以，

所以，又，

所以.

7．（2020·辽宁省高三三模）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）求证:平面；

（3）求三棱锥体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.

（2）取AB中点G，连结EG，FG，

因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，

因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，

所以四边形为平行四边形，所以EG，

又因为EG平面ABE，平面ABE，

所以平面.

（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，

所以三棱锥的体积为：==.

8．（2020·江苏省高三三模）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：

（1）OP∥平面ABB1A1；

（2）平面ACC1⊥平面OCP.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形，

∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点，

∴OP∥A1B，

∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，

∴OP∥平面ABB1A1，

（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，

∴平面ACC1A1是菱形，

∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，

∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，

∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，

∴AC1⊥平面OCP，

∵AC1平面ACC1，

∴平面ACC1⊥平面OCP.

9．（2020·河南省高三三模）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面底面，且，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）如图，

连接.因为底面是平行四边形，且是的中点，所以也是的中点.又因是的中点，

所以.因为平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因为，

所以，则.

又因为侧面底面，交线为，而平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

10．（2020·江苏省金陵中学高三二模）如图，在三棱锥中，分别为棱上的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面，求证：平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1），分别是，的中点，；

又平面，平面，

平面.

（2），，；

平面，；

又平面，平面，

平面，又平面，

平面平面.