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模板十二:空间中的平行与垂直高中数学必备考试技能
试卷
模板十二:空间中的平行与垂直高中数学必备考试技能01
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模板十二:空间中的平行与垂直高中数学必备考试技能

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模板十二:空间中的平行与垂直

模板

构建

证明空间中的平行与垂直的步骤如下:

典型

例题

2020·海南枫叶国际学校高三三模)如图,是正方形,是正方形的中心,底面的中点.求证:

1平面

2)平面平面

试题

解析

1)证明:连接

中,的中点,的中点,

平面平面

平面

2底面底面

,且平面平面

平面,而平面

平面平面

题后

反思

本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理,考查学生分析解决问题的能力.

针对训练*举一反三

 

1.(2020·江苏省高三二模)如图,在三棱柱中,侧面底面分别是棱的中点.求证:

1平面

2.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】(1)在中,分别是棱的中点,

所以.

又在三棱柱中,

所以.

又因为平面平面

所以平面.

2)因为侧面底面,侧面底面

平面

所以平面.

又因为平面,所以.

2.(2020·甘肃省静宁县第一中学高三三模)如图,在四棱锥中,,平面底面分别是的中点.

求证:(1底面

2平面

3)平面平面.

【答案】(1)证明见解析.(2) 证明见解析.(3) 证明见解析.

【解析】(1∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD

2∵AB∥CDAB⊥ADCD=2ABEF分别是CDPC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD

AD⊂平面PADBE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD

3)平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD ①

PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD

∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD

再由EF分别为CDPC的中点,可得EF∥PD

∴CD⊥EF ②

EFBE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF

由于CD⊂平面PCD平面BEF⊥平面PCD

3.(2020·双峰县第一中学高三二模)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面的中点,作于点.

1)证明:平面

2)证明:平面.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】(1)设相交于,连接,由于中点,中点,所以是三角形的中位线,所以,而平面平面,所以平面.

2)由于底面,所以,由于,所以平面,所以.由于中点,所以,而,所以平面,所以.依题意,所以平面.

4.(2020·全国高三二模)如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直,上异于的点.

1)证明:平面平面

2)在线段上是否存在点,使得平面?说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)存在,理由见解析

【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD

因为BCCDBC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM

因为M上异于CD的点,且DC为直径,所以DMCM

BCCM=C,所以DM平面BMC

DM平面AMD,故平面AMD平面BMC

2)当PAM的中点时,MC平面PBD

证明如下:连结ACBDO.因为ABCD为矩形,所以OAC中点.

连结OP,因为PAM 中点,所以MCOP

MC平面PBDOP平面PBD,所以MC平面PBD

5.(2020·江苏省高三二模)在三棱柱中,,且的中点.

1)求证:平面

2)求证:.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)连接,交于点,连接

在三棱柱中,四边形是平行四边形,

因为

所以的中点,所以

,面

所以平面

2)取的中点,连接

囚为.所以是正三角形,

因为的中点,所以

因为的中点,所以

所以

因为,所以

6.(2020·安徽省高三二模)如图1所示,在等腰梯形中,,点的中点.沿折起,使点到达的位置,得到如图2所示的四棱锥,点为棱的中点.

1)求证:

2)若,求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析;(2

【解析】(1)在平面图中,

因为

所以四边形是平行四边形;

在立体图中,

连接,交于点,连接,所以点的中点,又因为点为棱的中点,

所以,因为平面平面

所以平面

2)在平面图中,

因为是平行四边形,所以,因为四边形是等腰梯形,

所以,所以,因为,所以

在立体图中,

又平面平面,且平面平面平面

所以平面

由(1)知,所以平面

在等腰直角三角形中,因为,所以

所以,又

所以.

7.(2020·辽宁省高三三模)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,分别是的中点.

1)求证: 平面平面

2)求证:平面

3)求三棱锥体积.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3

【解析】(1)在三棱柱中,底面ABC,所以AB

又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面,因为AB平面,所以平面平面.

2)取AB中点G,连结EGFG

因为EF分别是的中点,所以FG∥AC,且FG=AC

因为AC∥,且AC=,所以FG∥,且FG=

所以四边形为平行四边形,所以EG

又因为EG平面ABE平面ABE

所以平面.

3)因为=AC=2BC=1AB⊥BC,所以AB=

所以三棱锥的体积为:==.

8.(2020·江苏省高三三模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1ACA1BAC1,设OAC1A1C的交点,点PBC的中点.求证:

1OP平面ABB1A1

2)平面ACC1平面OCP.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1在三棱柱中,平面ACC1A1是平行四边形,

OA1C的中点,又PBC的中点,

OPA1B

A1B平面ABB1A1OP平面ABB1A1

OP平面ABB1A1

2平面ACC1A1是平行四边形,且AA1AC

平面ACC1A1是菱形,

AC1A1C,即AC1OC

A1BAC1,且OPA1B

AC1OP,又AC1OCOPOCO

AC1平面OCP

AC1平面ACC1

平面ACC1平面OCP.

9.(2020·河南省高三三模)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,平面底面,且分别为的中点.

1)求证:平面

2)求证:平面平面

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】(1)如图,

连接.因为底面是平行四边形,且的中点,所以也是的中点.又因的中点,

所以.因为平面平面

所以平面.

2)在中,因为

所以,则.

又因为侧面底面,交线为,而平面

所以平面.

因为平面

所以平面平面.

10.(2020·江苏省金陵中学高三二模)如图,在三棱锥中,分别为棱上的中点.

1)求证:平面

2)若平面,求证:平面平面.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】(1分别是的中点,

平面平面

平面.

2

平面

平面平面

平面,又平面

平面平面.

 

 

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