2019届高考数学理一轮复习典型题专项训练：坐标系与参数方程（含答案）
展开2019届高三数学一轮复习典型题专项训练
坐标系与参数方程
1、（2018全国I卷高考题）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
⑴求的直角坐标方程；
⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．
2、（2017全国I卷高考题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）若，求与的交点坐标；
（2）若上的点到距离的最大值为，求．
3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）在平面直角坐标系中，曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位，若为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且满足，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）已知、两点的直角坐标分别为和，直线与曲线交于、两点，求的值.
4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模））已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.
5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）已知曲线的参数方程是（参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B, C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）
(I）求点A,B,C,D的直角坐标；
(II）设P为上任意一点，求的取值范围．
6、（滁州市2018届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线，相交于,两点，求线段的长度.
7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆C的方程为.以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.
8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.
9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程．经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点。
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当|PM|-|PN|=1时，求直线l的方程；
10、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的倾斜角为且过极坐标点，若曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求的值.
11、（黄山市2018届高三一模检测）在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
（2）若，求的值.
12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.
13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，依逆时针次序排列，点的极坐标为.
（1）求点，，的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求点到直线距离的取值范围.
14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）曲线与曲线有两个公共点，求的取值范围.
15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，求的大小.
16、（马鞍山市2018届高三第三次教学质量监测）在平面直角坐标系中，直线：. 在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）设与的交点为,，求.
17、（皖南八校高三2018届高三第三次联考）在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为与直线的交点为，求的范围。
18、（芜湖市2018届高三5月模拟）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于两点（在之间），且，求实数的值．
19、（皖西高中教学联盟2018届三上学期期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交点分别为, 点，求的值.
参考答案：
1、（1）由可得：，化为.
（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为.
2、（1）时，直线的方程为．
曲线的标准方程是，
联立方程，解得：或，
则与交点坐标是和
（2）直线一般式方程是．
设曲线上点．
则到距离，其中．
依题意得：，解得或
3、
4、【解析】（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.
所以点的直角坐标为. ………………3分
将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ………5分
数学试题（理）参考答案（共11页）第10页
（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）
代入，整理得：.
设点、对应的参数值分别为、.则，
. ……………… 10分
解法二：过点作圆：的切线，切点为，
连接，因为点由平面几何知识得：
，
所以 . ———— 10分
5、
6、解：（1）曲线的普通方程为.
曲线的普通方程为.
（2）据得或
所以线段的长度为
7、(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，
∴直线的极坐标方程为.
又∵圆的方程为，
将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为. ……………………5分
(Ⅱ)将直线：，
与圆：联立，得，
整理得，∴.
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.
于是，. ……………………10分
8、（1）由得：.
因为，所以，
即曲线的普通方程为.
（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1.
设曲线上的动点，
由动点在圆上可得：.
∵
当时，，
∴.
9、解：（1）由曲线的极坐标方程，
得：，
所以曲线的直角坐标方程： ...............5分
（2）直线的参数方程可设为： 代入圆的方程得：
所以 又因为
则 所以，直线的方程为： ................10分10、解：（Ⅰ）直线的参数方程为，为参数，曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将代入，得.
其判别式，故有，，
∴.
11、解：（1）曲线，直线 ……………………………………5分
（2）将直线的参数方程代入，可得，
设对应得参数分别为，则
所以． …………………………10分
12、解析：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程是.
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，
又，所以，因此.
13、解：（1）由，可得点的直角坐标，
由已知，点的极坐标为，可得两点的直角坐标为，
点的极坐标为，同理可得两点的直角坐标为.
（2）直线的方程为，
设点，则点到直线距离
（其中，），
因为，所以，所以，
所以.
14、解：（1）在曲线中，
∴曲线的普通方程为，.
在曲线中：由可得，∴曲线的直角坐标方程为；
（2）联立，有两解，
令，在上有两解，
∴，
∴.
15、解：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.
（2）(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为：，
代入圆方程消去可得
∴
∴
(也可以用几何方法求解）
(法二）将直线的参数方程代入圆的方程可得：
整理得：
∴
根据参数方程的几何意义，由题可得：
.
16、解：（1）因为，所以的极坐标方程为，的普通方程为. ……………………5分
（2）将代入，得，解得=，=，=－=. ……………………10分
17、
18、【解析】（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为两边同乘得即．………5分
（2）将曲线的参数方程代入曲线得， 设对应的参数为，由题意得，且在之间，则，
解得………10分
19、【解析】（Ⅰ） ------2分
曲线--------4分
（Ⅱ）法1：将 （为参数）代入曲线C的方程，得--------6分------8分
------10分.
法2：设圆心与轴交于O、D，则--------6分
而------8分,
------10分.
