高考数学一轮复习讲义第9章第2节两条直线的位置关系

这是一份高考数学一轮复习讲义第9章第2节两条直线的位置关系，共15页。学案主要包含了知识拓展，思考辨析等内容，欢迎下载使用。


1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【知识拓展】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq \f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．( √ )
1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 直线x－2y－2＝0可化为y＝eq \f(1,2)x－1，
所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝eq \f(1,2)x＋b，
将点(1,0)代入得b＝－eq \f(1,2).
所以所求直线方程为x－2y－1＝0.
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2)B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1D.eq \r(2)＋1
答案 C
解析 依题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2).
3．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
4．(2017·朝阳调研)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10B．－2C．0D．8
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴(－eq \f(1,n))×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.
5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当m＝2时，代入两直线方程中，
易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有eq \f(2,m)＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，
故必要性成立，故选C.
(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2是否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值．
解 ①方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，
l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
②方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由(－eq \f(a,2))·eq \f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq \f(2,3).
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝eq \f(2,3).
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，
l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时，k1＝－eq \f(1,sinα)，k2＝－2sinα.
要使l1∥l2，需－eq \f(1,sinα)＝－2sinα，即sinα＝±eq \f(\r(2),2).
所以α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z时，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sinα＝±eq \f(\r(2),2)，所以α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.
故当α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z时，l1∥l2.
(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
答案 (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)方法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－eq \f(1,3).
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，
直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.
解得λ＝－eq \f(1,3).∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
(2)(2016·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A.eq \f(5,2)eq \r(2)B．5eq \r(2)C.eq \f(15,2)eq \r(2)D．15eq \r(2)
答案 B
解析 设P1P2的中点为P(x，y)，则x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2).
∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.
∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.
∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，
∴P到原点的距离d＝eq \r(x2＋x－102)
＝eq \r(2x－52＋50)≥eq \r(50)＝5eq \r(2).
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例4 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．3eq \r(3)B．6C．2eq \r(10)D．2eq \r(5)
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)．则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10).
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 (2016·泰安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解 在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))
∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，则
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
∵kPP′·kl＝－1，即eq \f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×eq \f(x′＋x,2)－eq \f(y′＋y,2)＋3＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)， ③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为eq \f(－4x＋3y－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴eq \f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq \f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
20．妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
思想方法指导 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．
规范解答
解 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．
典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．
规范解答
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
典例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．
规范解答
解 方法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．
因为l3的斜率为eq \f(3,4)，且l⊥l3，
所以直线l的斜率为－eq \f(4,3)，
由斜截式可知l的方程为y＝－eq \f(4,3)x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 (1)充分性：当a＝1时，
直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；
(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1.
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.
2．(2016·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2.
∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0
答案 A
解析 由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝eq \f(1,2)，所以直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2)B．2C．3D．4
答案 B
解析 点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，
则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝eq \r(1＋12＋1－12)＝2.
故选B.
5．(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5)B.eq \f(18,5)C.eq \f(29,10)D.eq \f(29,5)
答案 C
解析 因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，
所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10)，故选C.
6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5)B.eq \f(36,5)C.eq \f(28,3)D.eq \f(32,3)
答案 A
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，
即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))
故m＋n＝eq \f(34,5)，故选A.
7．(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.
答案 0或eq \f(8,3)
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋ba－1＝0，,\f(4,\r(a2＋－b2))＝\f(|b|,\r(a－12＋1)).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))经检验，两种情况均符合题意，
∴a＋b的值为0或eq \f(8,3).
8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
答案 －1 1 2eq \r(2)
解析 若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则－a＝k＝taneq \f(π,4)＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝eq \f(|1－－3|,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
9.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
答案 6
解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝eq \f(6,a).
Rt△ABC的面积S＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(b2＋9)
＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(\f(36,a2)＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(72＋9a2＋\f(144,a2))
≥eq \f(1,2)eq \r(72＋72)＝6.
10．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 (2,4)
解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝2x－1，,y－5＝－x－1，))得Q(2,4)．
11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
证明 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(eq \f(x0＋5,2)，eq \f(y0＋1,2))，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))∴B(－1，－3)，
∴kBC＝eq \f(6,5)，∴直线BC的方程为y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
*13.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq \f(7\r(5),10).
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq \f(1,2)；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5).
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)直线l2：2x－y－eq \f(1,2)＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq \f(7\r(5),10)，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq \f(7\r(5),10)，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，则点P在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，
即c＝eq \f(13,2)或eq \f(11,6)，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)；
联立方程2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))
所以存在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满足三个条件．