2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第8讲　坐标系与参数方程

第8讲　坐标系与参数方程

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1．极坐标与直角坐标的互化

设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则有或

2．圆的极坐标方程

圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；圆心为点(a，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；圆心为点，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ．

3．直线、圆以及椭圆的参数方程

(1)过点(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为

(t为参数)．

(2)圆心为M0(x0，y0)，半径为R的圆的参数方程为(θ为参数)．

(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．

4．极坐标方程与普通方程互化核心公式

参数方程和极坐标方程化为普通方程

[典型例题]

(2019·苏州市高三调研)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．

【解】　由消去t得曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，故曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4．

联立

解得

故曲线C1与C2的交点的直角坐标为(，1)．

取相同的单位长度，平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有和．

参数方程化为普通方程既要注意方法，更要注意参数对普通方程中变量范围的影响．极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，要注意互化时防止取值范围的扩大或缩小．

[对点训练]

1．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．

[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，

以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．

圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0．

则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，

所以圆C的半径为．

参数方程和极坐标方程的简单运用

[典型例题]

(2019·高考江苏卷)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3．

(1)求A，B两点间的距离；

(2)求点B到直线l的距离．

【解】　(1)设极点为O．在△OAB中，A，B，

由余弦定理，得

AB＝＝．

(2)因为直线l的方程为ρsin＝3，

则直线l过点，倾斜角为．

又B，所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2．

参数方程与极坐标方程的简单运用，一般方法是先把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，然后再用直角坐标系下的方法求解．

[对点训练]

2．(2018·高考江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．

[解] 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，

所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为

ρsin＝2，

则直线l过A(4，0)，倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB＝．

连结OB．因为OA为直径，从而∠OBA＝，

所以AB＝4cos＝2．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为2．

1．(2019·南京、盐城高三模拟)在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A和圆E的位置关系．

[解] 点A的直角坐标为(2，－2)，

圆E的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，

则点A到圆心E的距离d＝＝4>r＝2，

所以点A在圆E外．

2．(2019·南通模拟)在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．

[解] 法一：将直线θ＝化为普通方程得，y＝x，

将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程得，x2＋y2－10x＋4＝0，联立

并消去y得，2x2－5x＋2＝0，

解得x1＝，x2＝2，

所以AB中点的横坐标为＝，纵坐标为，

化为极坐标为．

法二：联立直线l与曲线C得方程组

消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，

解得ρ1＝1，ρ2＝4，

所以线段AB中点的极坐标为，即．

3．(2019·江苏名校高三摸底)已知点M为曲线C：

＋＝1上任意一点，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ＋sin θ)＝10，求点M到直线l的距离的取值范围．

[解] 将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为2x＋y－10＝0．

设曲线C上的点M(2cos φ，3sin φ)，则点M到直线l的距离d＝＝(其中tan φ0＝)．

当sin(φ＋φ0)＝－1时，d取得最大值3；当sin(φ＋φ0)＝1时，d取得最小值，故点M到直线l的距离的取值范围为[，3]．

4．(2019·江苏四星级学校高三联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值之和．

[解] 由于点Q在曲线C上，故可设点Q(cos θ，2＋sin θ)，将直线l的参数方程化为普通方程是x－y－1＝0．

故点Q到直线l的距离d＝＝，

所以当cos＝1时，dmin＝；

当cos＝－1时，dmax＝．

从而可得所求之和为＋＝3．